Как решить неравенство:

(x² - 1)(x² + 4x + 4)(x + 5)³ > 0?

Алгебра 11 класс Неравенства с рациональными выражениями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства с многочленами методы решения неравенств анализ знаков многочлена Новый

Чтобы решить неравенство (x² - 1)(x² + 4x + 4)(x + 5)³ > 0, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем каждый из множителей по отдельности.

Шаг 1: Найдем корни каждого множителя.

• Первый множитель: x² - 1

Решим уравнение x² - 1 = 0:

1. x² = 1
2. x = ±1

Корни: x = -1 и x = 1.

• Второй множитель: x² + 4x + 4

Это квадратный трёхчлен, который можно записать как (x + 2)²:

1. Решим уравнение (x + 2)² = 0:
2. x + 2 = 0
3. x = -2.

Корень: x = -2 (двойной корень).

• Третий множитель: (x + 5)³

Решим уравнение (x + 5)³ = 0:

1. x + 5 = 0
2. x = -5.

Корень: x = -5 (тройной корень).

Шаг 2: Определим знаки каждого множителя на интервалах.

Теперь у нас есть корни: x = -5, x = -2, x = -1 и x = 1. Эти корни разбивают числовую прямую на следующие интервалы:

• (-∞, -5)
• (-5, -2)
• (-2, -1)
• (-1, 1)
• (1, +∞)

Шаг 3: Проверим знак произведения на каждом интервале.

• Интервал (-∞, -5)

Выберем x = -6:

(-6² - 1)(-6² + 4(-6) + 4)(-6 + 5)³ = (36 - 1)(36 - 24 + 4)(-1)³ = (35)(16)(-1) < 0

• Интервал (-5, -2)

Выберем x = -4:

(-4² - 1)(-4² + 4(-4) + 4)(-4 + 5)³ = (16 - 1)(16 - 16 + 4)(1)³ = (15)(4)(1) > 0

• Интервал (-2, -1)

Выберем x = -1.5:

(-1.5² - 1)(-1.5² + 4(-1.5) + 4)(-1.5 + 5)³ = (2.25 - 1)(2.25 - 6 + 4)(3.5)³ = (1.25)(0.25)(3.5) > 0

• Интервал (-1, 1)

Выберем x = 0:

(0² - 1)(0² + 4(0) + 4)(0 + 5)³ = (-1)(4)(5)³ < 0

• Интервал (1, +∞)

Выберем x = 2:

(2² - 1)(2² + 4(2) + 4)(2 + 5)³ = (4 - 1)(4 + 8 + 4)(7)³ = (3)(16)(7)³ > 0

Шаг 4: Подводим итоги.

Теперь мы можем собрать результаты:

• (-∞, -5): отрицательный
• (-5, -2): положительный
• (-2, -1): положительный
• (-1, 1): отрицательный
• (1, +∞): положительный

Теперь определим, где произведение больше нуля:

• (-5, -2)
• (-2, -1)
• (1, +∞)

Шаг 5: Учитываем кратность корней.

Корни x = -5 и x = -2 являются корнями с нечетной кратностью, поэтому знак неравенства изменяется при их пересечении. Корень x = -1 является корнем с четной кратностью, следовательно, знак не изменится.

Итог:

Решение неравенства (x² - 1)(x² + 4x + 4)(x + 5)³ > 0:

• x ∈ (-5, -2) ∪ (-2, -1) ∪ (1, +∞)