Пожалуйста, помогите решить следующие неравенства:

1. X^2 - 4x - 12 / (x - 2) <= 0
2. X^2 + x - 2 / (x^2 - 4x + 3) <= 0

Алгебра 11 класс Неравенства с рациональными выражениями неравенства алгебра 11 класс решение неравенств Квадратные неравенства математические задачи Новый

Давайте решим каждое из неравенств по очереди, начиная с первого.

1. Неравенство: (x^2 - 4x - 12) / (x - 2) <= 0

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: x^2 - 4x - 12 = 0. Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-12) = 16 + 48 = 64.

• Корни: x1 = (4 + 8) / 2 = 6 и x2 = (4 - 8) / 2 = -2.

Шаг 2: Найдем, когда знаменатель равен нулю:

• x - 2 = 0 => x = 2.

Шаг 3: Теперь у нас есть критические точки: x = -2, x = 2 и x = 6. Построим числовую прямую и определим знаки на интервалах:

• Интервалы: (-∞, -2), (-2, 2), (2, 6), (6, +∞).

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале:

• Для (-∞, -2): например, x = -3. (числитель положителен, знаменатель отрицателен) => знак отрицательный.
• Для (-2, 2): например, x = 0. (числитель отрицателен, знаменатель отрицателен) => знак положительный.
• Для (2, 6): например, x = 4. (числитель отрицателен, знаменатель положителен) => знак отрицательный.
• Для (6, +∞): например, x = 7. (числитель положителен, знаменатель положителен) => знак положительный.

Шаг 5: Теперь составим итог:

• Неравенство выполняется на интервалах: (-∞, -2) и (2, 6).
• Включаем нули числителя: x = -2 и x = 6.
• Не включаем x = 2, так как это точка разрыва.

Ответ для первого неравенства: x ∈ (-∞, -2] ∪ (2, 6].

2. Неравенство: (x^2 + x - 2) / (x^2 - 4x + 3) <= 0

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Числитель: x^2 + x - 2 = 0. Найдем корни:

D = 1^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

• Корни: x1 = (-1 + 3) / 2 = 1 и x2 = (-1 - 3) / 2 = -2.

Шаг 2: Найдем, когда знаменатель равен нулю:

• x^2 - 4x + 3 = 0 => (x - 1)(x - 3) = 0 => x = 1 и x = 3.

Шаг 3: Теперь у нас есть критические точки: x = -2, x = 1 и x = 3. Построим числовую прямую:

• Интервалы: (-∞, -2), (-2, 1), (1, 3), (3, +∞).

Шаг 4: Проверим знаки на каждом интервале:

• Для (-∞, -2): например, x = -3. (числитель положителен, знаменатель положителен) => знак положительный.
• Для (-2, 1): например, x = 0. (числитель отрицателен, знаменатель положителен) => знак отрицательный.
• Для (1, 3): например, x = 2. (числитель положителен, знаменатель отрицателен) => знак отрицательный.
• Для (3, +∞): например, x = 4. (числитель положителен, знаменатель положителен) => знак положительный.

Шаг 5: Теперь составим итог:

• Неравенство выполняется на интервалах: (-2, 1) и (1, 3).
• Включаем нули числителя: x = -2 и x = 1.
• Не включаем x = 3, так как это точка разрыва.

Ответ для второго неравенства: x ∈ [-2, 1] ∪ (1, 3).

Таким образом, мы нашли решения для обоих неравенств!