Чтобы решить неравенство cos 2x + 5 cos x + 3 ≥ 0, начнем с преобразования и упрощения выражения.

Мы знаем, что cos 2x можно выразить через cos x с помощью формулы:

• cos 2x = 2 cos² x - 1

Подставим это выражение в неравенство:

2 cos² x - 1 + 5 cos x + 3 ≥ 0

Теперь упростим это неравенство:

• 2 cos² x + 5 cos x + 2 ≥ 0

Теперь обозначим y = cos x. Тогда неравенство принимает вид:

2y² + 5y + 2 ≥ 0

Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

2y² + 5y + 2 = 0

Используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

Теперь найдем корни:

• y1 = (-b + √D) / (2a) = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5
• y2 = (-b - √D) / (2a) = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2

Таким образом, корни уравнения: y1 = -0.5 и y2 = -2.

Теперь мы можем рассмотреть знаки выражения 2y² + 5y + 2. Для этого определим промежутки:

• (-∞, -2)
• (-2, -0.5)
• (-0.5, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из этих промежутков:

• Для y < -2 (например, y = -3): 2(-3)² + 5(-3) + 2 = 18 - 15 + 2 = 5 (положительное)
• Для -2 < y < -0.5 (например, y = -1): 2(-1)² + 5(-1) + 2 = 2 - 5 + 2 = -1 (отрицательное)
• Для y > -0.5 (например, y = 0): 2(0)² + 5(0) + 2 = 2 (положительное)

Итак, неравенство 2y² + 5y + 2 ≥ 0 выполняется на промежутках:

• (-∞, -2]
• [-0.5, +∞)

Теперь вернемся к переменной y = cos x. Учитывая, что cos x принимает значения в диапазоне от -1 до 1, мы должны проверить, какие значения из найденных промежутков соответствуют этому диапазону:

• (-∞, -2]: не подходит, так как cos x не может быть меньше -1.
• [-0.5, 1]: подходит, так как значения находятся в разрешенном диапазоне.

Теперь найдем, для каких значений x выполняется неравенство cos x ≥ -0.5:

• cos x = -0.5, это происходит при x = 2π/3 + 2kπ и x = 4π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, решение неравенства cos 2x + 5 cos x + 3 ≥ 0 можно записать как:

x ∈ [2π/3 + 2kπ, 4π/3 + 2kπ], где k - любое целое число.