Как решить неравенство:
cos 2x + 5 cos x + 3 ≥ 0
Алгебра 11 класс Неравенства тригонометрических функций решение неравенства алгебра 11 класс cos 2x cos x неравенства в алгебре математические неравенства тригонометрические функции алгебраические методы Новый
Чтобы решить неравенство cos 2x + 5 cos x + 3 ≥ 0, начнем с преобразования и упрощения выражения.
Мы знаем, что cos 2x можно выразить через cos x с помощью формулы:
Подставим это выражение в неравенство:
2 cos² x - 1 + 5 cos x + 3 ≥ 0
Теперь упростим это неравенство:
Теперь обозначим y = cos x. Тогда неравенство принимает вид:
2y² + 5y + 2 ≥ 0
Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
2y² + 5y + 2 = 0
Используем дискриминант:
Теперь найдем корни:
Таким образом, корни уравнения: y1 = -0.5 и y2 = -2.
Теперь мы можем рассмотреть знаки выражения 2y² + 5y + 2. Для этого определим промежутки:
Теперь проверим знак на каждом из этих промежутков:
Итак, неравенство 2y² + 5y + 2 ≥ 0 выполняется на промежутках:
Теперь вернемся к переменной y = cos x. Учитывая, что cos x принимает значения в диапазоне от -1 до 1, мы должны проверить, какие значения из найденных промежутков соответствуют этому диапазону:
Теперь найдем, для каких значений x выполняется неравенство cos x ≥ -0.5:
Таким образом, решение неравенства cos 2x + 5 cos x + 3 ≥ 0 можно записать как:
x ∈ [2π/3 + 2kπ, 4π/3 + 2kπ], где k - любое целое число.