Как решить неравенство log 0,6(2x-1) 3log²3x+5log3x-2>0?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство алгебра 11 класс log 0,6 log 3 неравенства алгебра задачи на неравенства Новый

Для решения неравенства log_0,6(2x-1) + 3log₃(x)² + 5log₃(x) - 2 > 0 начнем с преобразования его в более удобный вид.

1. Сначала упростим неравенство. Обозначим y = log₃(x). Тогда log_0,6(2x-1) можно выразить через y:

• log_0,6(2x-1) = log₃(2x-1) / log₃(0,6)

2. Теперь преобразуем логарифм с основанием 0,6:

• log₃(0,6) = log₃(3/5) = log₃(3) - log₃(5) = 1 - log₃(5)

3. Теперь подставим все в неравенство:

log₃(2x-1) / (1 - log₃(5)) + 3y² + 5y - 2 > 0

4. Умножим обе части неравенства на (1 - log₃(5)), учитывая, что это значение отрицательно (поскольку 0,6 < 1), и поменяем знак неравенства:

log₃(2x-1) < - (3y² + 5y - 2)(1 - log₃(5))

5. Теперь найдем область определения логарифмов:

• 2x - 1 > 0 → x > 0.5
• x > 0

Таким образом, область определения: x > 0.5.

6. Далее, решим квадратное уравнение 3y² + 5y - 2 = 0 для нахождения корней:

• Дискриминант D = 5² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49
• Корни: y₁ = (-5 + 7) / 6 = 1/3, y₂ = (-5 - 7) / 6 = -2

7. Теперь мы знаем, что функция 3y² + 5y - 2 обращается в ноль в точках y = 1/3 и y = -2. Это парабола, открытая вверх, и она будет положительной вне этих корней.

8. Теперь вернемся к логарифму:

log₃(2x-1) < - (3y² + 5y - 2)(1 - log₃(5))

9. Теперь определим, при каких значениях y (или x) неравенство выполняется. Мы знаем, что y = log₃(x), и подставим значения:

• y < -2 → x < 3^-2 = 1/9 (не подходит, так как x > 0.5)
• -2 < y < 1/3 → 3^-2 < x < 3^1/3 (также не подходит)
• y > 1/3 → x > 3^1/3 (это подходит, так как 3^1/3 > 0.5)

10. Подводя итог, мы получили, что неравенство выполняется для значений:

x > 3^1/3

Таким образом, ответ: x > 3^1/3.