Как решить неравенство: log (24+2x-x^2) / 14 по основанию (25-x^2)/16 больше 1?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства алгебра логарифмы неравенства математические методы графики функций свойства логарифмов решение уравнений анализ функции Новый

Чтобы решить неравенство log((24 + 2x - x^2) / 14) по основанию ((25 - x^2) / 16) > 1, начнем с анализа условий, при которых логарифм определен и неравенство имеет смысл.

1. Условия определения логарифма:

• Аргумент логарифма должен быть положительным: (24 + 2x - x^2) / 14 > 0.
• Основание логарифма должно быть положительным и не равно 1: (25 - x^2) / 16 > 0 и (25 - x^2) / 16 ≠ 1.

2. Решим первое условие:

Рассмотрим неравенство 24 + 2x - x^2 > 0. Это можно переписать как -x^2 + 2x + 24 > 0, что эквивалентно x^2 - 2x - 24 < 0.

Находим корни уравнения x^2 - 2x - 24 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100.
• Корни: x = (2 ± √100) / 2 = (2 ± 10) / 2, то есть x1 = 6 и x2 = -4.

Теперь определим промежутки:

• Неравенство x^2 - 2x - 24 < 0 выполняется между корнями: -4 < x < 6.

3. Решим второе условие:

• Для (25 - x^2) / 16 > 0 получаем 25 - x^2 > 0 или x^2 < 25, что дает -5 < x < 5.
• Для (25 - x^2) / 16 ≠ 1 имеем 25 - x^2 ≠ 16, что дает x^2 ≠ 9 или x ≠ 3 и x ≠ -3.

4. Объединим все условия:

Теперь нам нужно найти пересечение промежутков:

• Первое условие: -4 < x < 6
• Второе условие: -5 < x < 5 и x ≠ 3, x ≠ -3

Пересечение промежутков:

• Объединяя оба условия, мы получаем: -4 < x < 5 и x ≠ 3.

5. Решим неравенство:

Теперь вернемся к исходному неравенству:

Мы знаем, что log((24 + 2x - x^2) / 14) > log(1), что эквивалентно (24 + 2x - x^2) / 14 > 1.

Умножим обе стороны на 14 (так как 14 > 0):

24 + 2x - x^2 > 14

Это можно переписать как:

-x^2 + 2x + 10 > 0

Или x^2 - 2x - 10 < 0.

Находим корни уравнения x^2 - 2x - 10 = 0:

• Дискриминант D = 4 + 40 = 44.
• Корни: x = (2 ± √44) / 2 = 1 ± √11.

Теперь определим промежутки:

• Неравенство x^2 - 2x - 10 < 0 выполняется между корнями: (1 - √11, 1 + √11).

6. Объединяем все условия:

Теперь мы должны найти пересечение промежутков -4 < x < 5 и (1 - √11, 1 + √11).

Приблизительно √11 ≈ 3.32, значит 1 - √11 ≈ -2.32 и 1 + √11 ≈ 4.32.

Таким образом, пересечение:

• -4 < x < 4.32 и x ≠ 3.

7. Записываем ответ:

Ответ: -4 < x < 4.32, x ≠ 3.