Для решения неравенства log_0,5(x^2 - 7x + 12) > log_0,5(17 - 3x), мы воспользуемся свойствами логарифмов и неравенств.

Поскольку основание логарифма 0,5 меньше единицы, знак неравенства изменится на противоположный при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических выражений. То есть:

x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x

Теперь решим это квадратичное неравенство. Для этого:

1. Переносим все члены влево:

x^2 - 7x + 12 - 17 + 3x < 0

2. Упрощаем выражение:

x^2 - 4x - 5 < 0

3. Решаем квадратное уравнение x^2 - 4x - 5 = 0, чтобы найти корни:
• Вычисляем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
• Находим корни: x₁ = (4 + √36) / 2 = 5, x₂ = (4 - √36) / 2 = -1.
4. Корни разбивают числовую прямую на интервалы: (-∞, -1),(-1, 5),(5, ∞).
5. Определяем знаки выражения x^2 - 4x - 5 на каждом из интервалов. Для этого подставим в выражение любое значение из каждого интервала:
• Для интервала (-∞, -1),например, x = -2: (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0.
• Для интервала (-1, 5),например, x = 0: 0^2 - 4*0 - 5 = -5 < 0.
• Для интервала (5, ∞),например, x = 6: 6^2 - 4*6 - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0.
6. Таким образом, выражение x^2 - 4x - 5 < 0 на интервале (-1, 5).

Теперь проверим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмов:

• x^2 - 7x + 12 > 0, решаем это неравенство:
• Корни уравнения x^2 - 7x + 12 = 0, это x = 3 и x = 4 (решается аналогично предыдущему квадратному уравнению).
• На числовой прямой корни разбивают её на интервалы: (-∞, 3),(3, 4),(4, ∞).
• Выражение положительно на интервалах (-∞, 3) и (4, ∞).
• 17 - 3x > 0, решаем это неравенство:
• 3x < 17, x < 17/3 ≈ 5.67.
• Значит, x < 5.67.

Объединяя условия, получаем, что x принадлежит пересечению интервалов (-1, 3) и (4, 5),что в данном случае невозможно, так как они не пересекаются. Следовательно, пересечение с учётом ОДЗ и решения неравенства будет x ∈ (4, 5).

Таким образом, решение неравенства: x ∈ (4, 5).