Как решить неравенство Log1-x(2x+3)≥1?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства алгебра 11 класс Log1-x 2x+3 неравенства в алгебре методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство Log_1-x(2x+3)≥1, давайте разберем его шаг за шагом.

1. Начнем с преобразования логарифмического неравенства. Мы знаем, что логарифм равен 1, если основание в степени 1 равно аргументу. То есть:

   Log_1-x(2x+3) = 1 эквивалентно 2x + 3 = (1 - x)¹.

2. Упростим это уравнение:

   2x + 3 = 1 - x.

   Теперь соберем все x на одной стороне:

   2x + x = 1 - 3,

   что дает:

   3x = -2.

   Следовательно:

   x = -2/3.

3. Теперь вернемся к неравенству. Мы хотим, чтобы:

   Log_1-x(2x+3) ≥ 1.

   Это неравенство будет выполняться, если:

   • 2x + 3 > 0 (аргумент логарифма должен быть положительным),
   • 1 - x > 0 (основание логарифма должно быть положительным и не равно 1).

4. Решим первое неравенство:

   2x + 3 > 0 приводит к:

   2x > -3,

   что дает:

   x > -3/2.

5. Теперь решим второе неравенство:

   1 - x > 0 приводит к:

   -x > -1,

   что дает:

   x < 1.

6. Теперь у нас есть два условия:

   • x > -3/2,
   • x < 1.

   Таким образом, мы можем записать общий промежуток:

   -3/2 < x < 1.

7. Теперь мы должны проверить, включаем ли мы границу. Мы знаем, что:

   • При x = -2/3 логарифм равен 1, поэтому эта точка включается в решение.
   • При x = 1 основание логарифма становится 1, что недопустимо.

Итак, окончательное решение неравенства:

-3/2 < x ≤ -2/3.