Как решить неравенство Log5 ((x^2+3)/(4x^2-16x)) < 0? Нужно ли отдельно анализировать числитель и знаменатель, или есть какая-то формула для этого? Помогите, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифм алгебра 11 решение неравенств анализ числителя анализ знаменателя формулы неравенств Новый

Для решения неравенства Log5((x^2 + 3)/(4x^2 - 16x)) < 0 мы будем использовать свойства логарифмов и анализировать, когда логарифм отрицателен.

Логарифм Log5(a) будет отрицателен, когда a находится в диапазоне 0 < a < 1. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

0 < (x^2 + 3)/(4x^2 - 16x) < 1

Теперь мы можем разбить это неравенство на две части:

1. Решаем (x^2 + 3) > 0:
• Выражение x^2 + 3 всегда положительно, так как x^2 всегда неотрицательно, и добавление 3 делает его строго положительным. Таким образом, это неравенство выполняется для всех x.
2. Решаем (x^2 + 3)/(4x^2 - 16x) < 1:
• Умножим обе стороны на (4x^2 - 16x), но помним, что при этом нужно учитывать знак этого выражения. Это даст нам два случая.
• Сначала решим (x^2 + 3) < (4x^2 - 16x) при условии, что (4x^2 - 16x) > 0.
• Переносим все в одну сторону:
4x^2 - 16x - x^2 - 3 > 0
• Упрощаем:
3x^2 - 16x - 3 > 0
• Теперь решаем квадратное неравенство 3x^2 - 16x - 3 = 0 с помощью дискриминанта:
• D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 * 3 * (-3) = 256 + 36 = 292
• Корни уравнения:
x1 = (16 + sqrt(292))/6, x2 = (16 - sqrt(292))/6
• Находим корни и определяем промежутки, где неравенство 3x^2 - 16x - 3 > 0 выполняется.

Теперь нужно проанализировать знак 4x^2 - 16x. Мы можем его разложить:

4x(x - 4) = 0, откуда x = 0 и x = 4.

Теперь мы имеем три критических точки: x1, x2, 0 и 4. Мы можем построить числовую прямую и проверить знаки на промежутках:

В итоге, объединяя результаты, мы получаем решение неравенства. Не забудьте проверить, что 4x^2 - 16x не равно нулю, чтобы избежать деления на ноль.

Таким образом, в результате анализа мы получим множество решений для неравенства Log5((x^2 + 3)/(4x^2 - 16x)) < 0.