Как решить неравенство логарифма по основанию 1/3 от числа (x^2 - 6x + 8) больше логарифма по основанию 1/3 от логарифма по основанию 2 числа 32?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифма основание 1/3 решение неравенства логарифм по основанию 2 число 32 алгебра 11 класс x^2 - 6x + 8 Новый

Чтобы решить неравенство логарифма по основанию 1/3 от числа (x^2 - 6x + 8) больше логарифма по основанию 1/3 от логарифма по основанию 2 числа 32, начнем с анализа каждого элемента неравенства.

Шаг 1: Упрощение правой части неравенства

• Сначала найдем значение логарифма по основанию 2 от числа 32. Поскольку 32 = 2^5, то:
• логарифм по основанию 2 от 32 равен 5.

Таким образом, у нас есть:

логарифм по основанию 1/3 от 5.

Шаг 2: Переписываем неравенство

Теперь неравенство можно переписать в следующем виде:

логарифм по основанию 1/3 от (x^2 - 6x + 8) > логарифм по основанию 1/3 от 5.

Шаг 3: Использование свойств логарифмов

Поскольку основание логарифма (1/3) меньше 1, это означает, что логарифмы будут убывающими функциями. Поэтому, если логарифм по основанию 1/3 от A > логарифм по основанию 1/3 от B, то это эквивалентно:

A < B.

Таким образом, мы можем записать:

x^2 - 6x + 8 < 5.

Шаг 4: Решение квадратного неравенства

Теперь у нас есть квадратное неравенство:

x^2 - 6x + 8 - 5 < 0.

Упрощаем его:

x^2 - 6x + 3 < 0.

Шаг 5: Находим корни квадратного уравнения

Для того чтобы решить неравенство, найдем корни уравнения x^2 - 6x + 3 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 * 1 * 3 = 36 - 12 = 24.
• Корни уравнения: x1 = (6 + sqrt(24)) / 2 и x2 = (6 - sqrt(24)) / 2.

Упрощая корни, получаем:

• sqrt(24) = 2 * sqrt(6),
• x1 = 3 + sqrt(6),
• x2 = 3 - sqrt(6).

Шаг 6: Определение интервалов

Теперь мы можем определить знаки на промежутках, образованных корнями:

• Промежуток (-∞, 3 - sqrt(6))
• Промежуток (3 - sqrt(6), 3 + sqrt(6))
• Промежуток (3 + sqrt(6), +∞)

Проверяем знаки на каждом из промежутков, подставляя тестовые значения:

• Для x < 3 - sqrt(6) (например, x = 0): 0^2 - 6*0 + 3 > 0 (положительное).
• Для 3 - sqrt(6) < x < 3 + sqrt(6) (например, x = 3): 3^2 - 6*3 + 3 < 0 (отрицательное).
• Для x > 3 + sqrt(6) (например, x = 7): 7^2 - 6*7 + 3 > 0 (положительное).

Шаг 7: Записываем ответ

Таким образом, неравенство x^2 - 6x + 3 < 0 выполняется на промежутке:

(3 - sqrt(6), 3 + sqrt(6)).

Ответ: x принадлежит интервалу (3 - sqrt(6), 3 + sqrt(6)).