Как решить неравенство методом замены: (корень из x^2+x+10) - (корень из x^2+x+3) >= 1?

Алгебра 11 класс Неравенства с корнями решение неравенств метод замены алгебра 11 класс корень из выражения неравенство с корнями Новый

Чтобы решить неравенство (корень из x^2+x+10) - (корень из x^2+x+3) >= 1 методом замены, следуем следующим шагам:

1. Вводим замену: Обозначим y = корень из (x^2 + x + 3). Тогда корень из (x^2 + x + 10) = корень из (x^2 + x + 3 + 7) = корень из (y^2 + 7).
2. Подставляем замену в неравенство: Теперь наше неравенство принимает вид: корень из (y^2 + 7) - y >= 1.
3. Переносим y: Переносим y в правую часть: корень из (y^2 + 7) >= y + 1.
4. Возводим обе стороны в квадрат: Чтобы избавиться от корня, возводим обе стороны в квадрат (при этом нужно помнить, что это может ввести дополнительные решения): y^2 + 7 >= (y + 1)^2.
5. Раскрываем скобки: Раскроем правую часть: y^2 + 7 >= y^2 + 2y + 1.
6. Упрощаем неравенство: Убираем y^2 с обеих сторон: 7 >= 2y + 1.
7. Переносим 1: Переносим 1 в левую часть: 6 >= 2y.
8. Делим на 2: Делим обе стороны на 2: 3 >= y.
9. Возвращаемся к исходной переменной: Напоминаем, что y = корень из (x^2 + x + 3), поэтому мы имеем: 3 >= корень из (x^2 + x + 3).
10. Возводим в квадрат: Возводим обе стороны в квадрат: 9 >= x^2 + x + 3.
11. Переносим все в одну сторону: Переносим 9 в правую часть: 0 >= x^2 + x - 6.
12. Решаем квадратное неравенство: Сначала найдем корни уравнения x^2 + x - 6 = 0 с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25.
13. Находим корни: Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 5) / 2 = 2, x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - 5) / 2 = -3.
14. Определяем знаки: Теперь мы знаем, что парабола y = x^2 + x - 6 имеет корни -3 и 2. Парабола открыта вверх, следовательно, она принимает значения меньше или равные нулю на интервале (-3; 2).
15. Записываем ответ: Таким образом, решение неравенства: -3 <= x <= 2.

Теперь вы знаете, как решить данное неравенство методом замены!