Каково множество решений неравенства 2√(3x+2)-√(6x) > 2?

Алгебра 11 класс Неравенства с корнями Новый

Для решения неравенства 2√(3x+2) - √(6x) > 2 будем следовать шагам, которые помогут нам найти множество решений.

1. Определение области определения:
   • Подкоренные выражения должны быть неотрицательными, поэтому мы должны решить два неравенства:
   • 3x + 2 ≥ 0, что дает x ≥ -2.
   • 6x ≥ 0, что дает x ≥ 0.

   Таким образом, область определения нашего неравенства — это x ≥ 0.

2. Переписывание неравенства:

   Переносим 2 в левую часть:

   2√(3x+2) - √(6x) - 2 > 0.

3. Устранение радикалов:

   Для этого изолируем один из корней:

   2√(3x+2) > √(6x) + 2.

   Теперь возведем обе стороны в квадрат:

   (2√(3x+2))^2 > (√(6x) + 2)^2.

4. Раскрытие квадратов:

   Слева получаем:

   4(3x + 2) = 12x + 8.

   Справа:

   (√(6x))^2 + 2 * √(6x) * 2 + 2^2 = 6x + 4√(6x) + 4.

   Теперь неравенство выглядит так:

   12x + 8 > 6x + 4√(6x) + 4.

5. Упрощение неравенства:

   Переносим все слагаемые в одну сторону:

   12x - 6x + 8 - 4 > 4√(6x).

   Это упрощается до:

   6x + 4 > 4√(6x).

6. Изоляция корня:

   Делим обе стороны на 4 (при этом учитываем, что x ≥ 0):

   (6x + 4)/4 > √(6x).

   Теперь:

   (3/2)x + 1 > √(6x).

7. Возведение в квадрат:

   Возводим обе стороны в квадрат:

   ((3/2)x + 1)^2 > 6x.

   Раскрываем скобки:

   (9/4)x^2 + 3x + 1 > 6x.

   Собираем все в одну сторону:

   (9/4)x^2 - 3x + 1 > 0.

8. Решение квадратного неравенства:

   Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения:

   (9/4)x^2 - 3x + 1 = 0.

   Используя дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * (9/4) * 1 = 9 - 9 = 0.

   Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень:

   x = 4/3.

   Теперь исследуем знак многочлена:

   При x < 4/3, многочлен положителен, при x = 4/3 он равен нулю, и при x > 4/3 — отрицателен.

9. Итог:

   Таким образом, множество решений неравенства 2√(3x+2) - √(6x) > 2 является:

   x ∈ [0, 4/3) (включая 0 и исключая 4/3).