Как решить неравенство рациональным способом, не возводя обе части в квадрат:

√(x + 1) - √(1 - x) > x

Алгебра 11 класс Неравенства с корнями неравенство рациональный способ решение неравенства алгебра 11 класс √(x + 1) √(1 - x) математический анализ методы решения квадратные корни алгебраические выражения Новый

Чтобы решить неравенство √(x + 1) - √(1 - x) > x рациональным способом, следуем следующим шагам:

1. Определим область определения. Для того чтобы корни были определены, необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными:
• x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
• 1 - x ≥ 0 → x ≤ 1

Таким образом, область определения: -1 ≤ x ≤ 1.

2. Переносим x в левую часть неравенства:

Получаем:

√(x + 1) - √(1 - x) - x > 0
3. Обозначим функцию:

Пусть f(x) = √(x + 1) - √(1 - x) - x. Мы будем исследовать знак этой функции на отрезке [-1, 1].

4. Найдем значения функции в границах области определения:
• f(-1):

f(-1) = √(0) - √(2) - (-1) = 0 - √2 + 1 = 1 - √2 < 0 (примерно -0.414)

• f(1):

f(1) = √(2) - √(0) - 1 = √2 - 1 > 0 (примерно 0.414)

5. Найдем производную функции:

Для нахождения критических точек найдем производную:

f'(x) = (1 / (2√(x + 1))) - (-1 / (2√(1 - x))) - 1
6. Решим уравнение f'(x) = 0:

Это уравнение может быть сложным для аналитического решения, поэтому лучше рассмотреть его графически или численно. Также можно просто проверить точки внутри интервала.

7. Проверим несколько значений внутри интервала:
• f(0): f(0) = √(1) - √(1) - 0 = 1 - 1 - 0 = 0
• f(0.5): f(0.5) = √(1.5) - √(0.5) - 0.5 > 0

Из этих значений видно, что функция меняет знак на отрезке (-1, 1).

8. Итак, заключение:

Функция f(x) принимает положительные значения на интервале (0, 1) и отрицательные на (-1, 0). Таким образом, решением неравенства √(x + 1) - √(1 - x) > x является:

0 < x < 1.

Ответ: (0, 1).