Для решения системы неравенств 6x - 3 < x - 2 и 3x² - 8x - 3 ≤ 0, мы будем решать каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Сначала упростим неравенство:

1. Переносим x из правой части в левую:

6x - x - 3 < -2

2. Упрощаем:

5x - 3 < -2

3. Теперь добавим 3 к обеим частям неравенства:

5x < 1

4. Делим обе стороны на 5:

x < 1/5

Таким образом, решение первого неравенства: x < 1/5.

Для решения этого неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения 3x² - 8x - 3 = 0, используя дискриминант:

1. Находим дискриминант D:

D = b² - 4ac = (-8)² - 4 * 3 * (-3) = 64 + 36 = 100

2. Корни уравнения находятся по формуле:

x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

3. Подставляем значения:

x1 = (8 + 10) / 6 = 3, x2 = (8 - 10) / 6 = -1/3

Теперь у нас есть корни x1 = 3 и x2 = -1/3. Следующий шаг - определить знаки выражения 3x² - 8x - 3 на интервалах, определенных корнями:

• Интервал (-∞, -1/3): выберем, например, x = -1. Подставляем: 3(-1)² - 8(-1) - 3 = 3 + 8 - 3 = 8 > 0.
• Интервал (-1/3, 3): выберем, например, x = 0. Подставляем: 3(0)² - 8(0) - 3 = -3 < 0.
• Интервал (3, +∞): выберем, например, x = 4. Подставляем: 3(4)² - 8(4) - 3 = 48 - 32 - 3 = 13 > 0.

Таким образом, неравенство 3x² - 8x - 3 ≤ 0 выполняется на интервале [-1/3, 3].

Теперь у нас есть два результата:

• Первое неравенство: x < 1/5
• Второе неравенство: -1/3 ≤ x ≤ 3

Теперь найдем пересечение этих двух решений:

• Решение первого неравенства ограничивает x сверху значением 1/5.
• Решение второго неравенства ограничивает x снизу значением -1/3 и сверху 3.

Таким образом, пересечение решений:

-1/3 ≤ x < 1/5.

Ответ: x ∈ [-1/3, 1/5).