Как решить следующее уравнение: cos^2 75 - sin^2 75 / sin 270?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos^2 75 sin^2 75 Sin 270 тригонометрические функции алгебраические задачи Новый

Чтобы решить уравнение cos²(75) - sin²(75) / sin(270), давайте сначала разберемся с каждым из компонентов.

Шаг 1: Найдем значение sin(270).

• sin(270°) = -1, так как синус угла 270 градусов соответствует координате на единичной окружности, которая равна -1.

Шаг 2: Найдем значения cos(75) и sin(75).

• cos(75°) = cos(45° + 30°). Используем формулу косинуса суммы: cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b).
• Таким образом, cos(75°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°).
• Значения: cos(45°) = √2/2, cos(30°) = √3/2, sin(45°) = √2/2, sin(30°) = 1/2.
• Подставляем: cos(75°) = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6/4) - (√2/4) = (√6 - √2)/4.
• Теперь найдем sin(75°): sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°).
• Подставляем: sin(75°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6/4) + (√2/4) = (√6 + √2)/4.

Шаг 3: Подставим значения в уравнение.

• Теперь у нас есть: cos²(75) = ((√6 - √2)/4)² и sin²(75) = ((√6 + √2)/4)².
• Считаем cos²(75): ((√6 - √2)² / 16) = (6 - 2√12 + 2) / 16 = (8 - 2√12) / 16 = (4 - √12) / 8.
• Считаем sin²(75): ((√6 + √2)² / 16) = (6 + 2√12 + 2) / 16 = (8 + 2√12) / 16 = (4 + √12) / 8.

Шаг 4: Подставляем в уравнение.

• Теперь у нас есть: (4 - √12)/8 - (4 + √12)/8.
• Объединяем дроби: ((4 - √12) - (4 + √12)) / 8 = (-2√12) / 8 = -√12 / 4.

Шаг 5: Делим на sin(270).

• Теперь подставляем: (-√12 / 4) / (-1) = √12 / 4.

Ответ: Упрощая, получаем √12 / 4 = √3 / 2.

Таким образом, окончательный ответ: √3 / 2.