Как решить следующие неравенства?

1. (2x + 3) ^ 2 - 2x < (x + 1) ^ 2 + 4
2. (3x - 1) ^ 2 + 3x < (2x + 1) ^ 2 - 2
3. (x - 3) ^ 2 + (x - 2)(x + 2) < 11 - x - 2x ^ 2
4. (2x + 2) ^ 2 - (x - 1)(x + 1) < x(x - 4)

Алгебра 11 класс Неравенства и их решения решение неравенств алгебра 11 класс Квадратные неравенства методы решения неравенств неравенства с квадратами Новый

Давайте разберем каждое из данных неравенств по порядку. Мы будем решать их шаг за шагом, чтобы понять, как находить решения.

1. Неравенство: (2x + 3) ^ 2 - 2x < (x + 1) ^ 2 + 4

1. Раскроем скобки:
• (2x + 3) ^ 2 = 4x^2 + 12x + 9
• (x + 1) ^ 2 = x^2 + 2x + 1
2. Подставим в неравенство:
• 4x^2 + 12x + 9 - 2x < x^2 + 2x + 1 + 4
3. Упростим:
• 4x^2 + 10x + 5 < x^2 + 2x + 5
4. Переносим все в одну сторону:
• 4x^2 + 10x + 5 - x^2 - 2x - 5 < 0
• 3x^2 + 8x < 0
5. Вынесем общий множитель:
• x(3x + 8) < 0
6. Решим это неравенство:
• Корни: x = 0 и x = -8/3
• Определим знаки на интервалах: (-∞, -8/3), (-8/3, 0), (0, ∞)
• Решение: x ∈ (-8/3, 0)

2. Неравенство: (3x - 1) ^ 2 + 3x < (2x + 1) ^ 2 - 2

1. Раскроем скобки:
• (3x - 1) ^ 2 = 9x^2 - 6x + 1
• (2x + 1) ^ 2 = 4x^2 + 4x + 1
2. Подставим в неравенство:
• 9x^2 - 6x + 1 + 3x < 4x^2 + 4x + 1 - 2
3. Упростим:
• 9x^2 - 3x + 1 < 4x^2 + 4x - 1
4. Переносим все в одну сторону:
• 5x^2 - 7x + 2 < 0
5. Решим квадратное неравенство:
• Корни: x = 2/5 и x = 1
• Определим знаки: (-∞, 2/5), (2/5, 1), (1, ∞)
• Решение: x ∈ (2/5, 1)

3. Неравенство: (x - 3) ^ 2 + (x - 2)(x + 2) < 11 - x - 2x ^ 2

1. Раскроем скобки:
• (x - 3) ^ 2 = x^2 - 6x + 9
• (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4
2. Подставим в неравенство:
• x^2 - 6x + 9 + x^2 - 4 < 11 - x - 2x^2
3. Упростим:
• 2x^2 - 6x + 5 < 11 - x - 2x^2
4. Переносим все в одну сторону:
• 4x^2 - 5x - 6 < 0
5. Решим квадратное неравенство:
• Корни: x = 3 и x = -2/4 = -1/2
• Определим знаки: (-∞, -1/2), (-1/2, 3), (3, ∞)
• Решение: x ∈ (-1/2, 3)

4. Неравенство: (2x + 2) ^ 2 - (x - 1)(x + 1) < x(x - 4)

1. Раскроем скобки:
• (2x + 2) ^ 2 = 4x^2 + 8x + 4
• (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1
2. Подставим в неравенство:
• 4x^2 + 8x + 4 - (x^2 - 1) < x(x - 4)
3. Упростим:
• 4x^2 + 8x + 5 - x^2 < x^2 - 4x
4. Переносим все в одну сторону:
• 4x^2 + 8x + 5 - x^2 - x^2 + 4x < 0
• 2x^2 + 12x + 5 < 0
5. Решим квадратное неравенство:
• Корни: x = -1/2 и x = -5
• Определим знаки: (-∞, -5), (-5, -1/2), (-1/2, ∞)
• Решение: x ∈ (-5, -1/2)

Таким образом, мы рассмотрели все неравенства и нашли их решения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!