Какое количество целых решений имеет неравенство g′(x) ≤ 0, если g(x) = 2x^2e^x?

Алгебра 11 класс Неравенства и их решения неравенство целые решения g(x) 2x^2e^x g′(x) ≤ 0 алгебра 11 класс математика анализ функций количество решений Новый

Для начала, давайте найдем производную функции g(x) = 2x^2e^x. Мы будем использовать правило произведения, которое гласит, что если u(x) и v(x) - функции, то производная их произведения равна:

(uv)' = u'v + uv'

В нашем случае:

• u(x) = 2x^2, тогда u'(x) = 4x
• v(x) = e^x, тогда v'(x) = e^x

Теперь применим правило произведения:

g'(x) = u'v + uv' = (4x)e^x + (2x^2)(e^x) = e^x(4x + 2x^2)

Теперь у нас есть производная g'(x) = e^x(2x^2 + 4x). Поскольку e^x > 0 для всех x, знак производной будет определяться знаком выражения (2x^2 + 4x).

Рассмотрим неравенство g'(x) ≤ 0:

2x^2 + 4x ≤ 0

Для решения этого неравенства вынесем общий множитель:

2x(x + 2) ≤ 0

Теперь нам нужно решить неравенство 2x(x + 2) ≤ 0. Для этого найдем корни уравнения 2x(x + 2) = 0:

• 2x = 0, следовательно, x = 0
• x + 2 = 0, следовательно, x = -2

Теперь у нас есть два корня: x = -2 и x = 0. Эти корни делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, -2)
• (-2, 0)
• (0, +∞)

Теперь проверим знак выражения 2x(x + 2) на каждом из интервалов:

• Для интервала (-∞, -2): выберем x = -3. Тогда 2*(-3)*(-3 + 2) = 2*(-3)*(-1) = 6 > 0.
• Для интервала (-2, 0): выберем x = -1. Тогда 2*(-1)*(-1 + 2) = 2*(-1)*(1) = -2 < 0.
• Для интервала (0, +∞): выберем x = 1. Тогда 2*(1)*(1 + 2) = 2*(1)*(3) = 6 > 0.

Таким образом, 2x(x + 2) ≤ 0 на интервале [-2, 0]. Теперь нам нужно найти целые решения этого неравенства.

Целые числа в интервале [-2, 0] включают:

• -2
• -1
• 0

Итак, целые решения неравенства g'(x) ≤ 0: это -2, -1 и 0. В итоге, количество целых решений составляет:

3