Какое количество целых решений имеет неравенство g′(x) ≤ 0, если g(x) = 2x^2e^x?
Алгебра 11 класс Неравенства и их решения неравенство целые решения g(x) 2x^2e^x g′(x) ≤ 0 алгебра 11 класс математика анализ функций количество решений Новый
Для начала, давайте найдем производную функции g(x) = 2x^2e^x. Мы будем использовать правило произведения, которое гласит, что если u(x) и v(x) - функции, то производная их произведения равна:
(uv)' = u'v + uv'
В нашем случае:
Теперь применим правило произведения:
g'(x) = u'v + uv' = (4x)e^x + (2x^2)(e^x) = e^x(4x + 2x^2)
Теперь у нас есть производная g'(x) = e^x(2x^2 + 4x). Поскольку e^x > 0 для всех x, знак производной будет определяться знаком выражения (2x^2 + 4x).
Рассмотрим неравенство g'(x) ≤ 0:
2x^2 + 4x ≤ 0
Для решения этого неравенства вынесем общий множитель:
2x(x + 2) ≤ 0
Теперь нам нужно решить неравенство 2x(x + 2) ≤ 0. Для этого найдем корни уравнения 2x(x + 2) = 0:
Теперь у нас есть два корня: x = -2 и x = 0. Эти корни делят числовую ось на три интервала:
Теперь проверим знак выражения 2x(x + 2) на каждом из интервалов:
Таким образом, 2x(x + 2) ≤ 0 на интервале [-2, 0]. Теперь нам нужно найти целые решения этого неравенства.
Целые числа в интервале [-2, 0] включают:
Итак, целые решения неравенства g'(x) ≤ 0: это -2, -1 и 0. В итоге, количество целых решений составляет:
3