Какова сумма всех целых чисел, которые соответствуют следующим неравенствам: a) 2x²-9x+4; b) x-1/4 + 3-2x/2 > 3x+x²/8; c) (5x+7)(x-2) ≤ 21x²-11x+3?

Алгебра 11 класс Неравенства и их решения сумма целых чисел неравенства алгебра решение неравенств 11 класс алгебра задачи по алгебре Новый

Давайте решим каждое из неравенств по очереди и найдем сумму всех целых чисел, которые им соответствуют.

a) 2x² - 9x + 4

Это неравенство не имеет знака, поэтому мы просто найдем корни уравнения 2x² - 9x + 4 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-9)² - 4 * 2 * 4 = 81 - 32 = 49.
• Корни: x₁ = (9 + √49) / (2 * 2) = (9 + 7) / 4 = 4; x₂ = (9 - √49) / (2 * 2) = (9 - 7) / 4 = 0.5.

Теперь мы знаем, что парабола открыта вверх (так как коэффициент при x² положителен). Значит, неравенство 2x² - 9x + 4 < 0 выполняется между корнями:

0.5 < x < 4.

Целые числа в этом интервале: 1, 2, 3. Сумма: 1 + 2 + 3 = 6.

b) x - 1/4 + 3 - 2x/2 > 3x + x²/8

Упростим неравенство:

• Сначала преобразуем: x - 1/4 + 3 - x > 3x + x²/8.
• Соберем все в одну сторону: -1/4 + 3 > 3x + x²/8 + x.
• 3 - 1/4 = 11/4, значит, 11/4 > 4x + x²/8.

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дробей:

22 > 32x + x².

Перепишем неравенство:

x² + 32x - 22 < 0.

Теперь найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

• D = 32² - 4 * 1 * (-22) = 1024 + 88 = 1112.
• Корни: x₁ = (-32 + √1112) / 2; x₂ = (-32 - √1112) / 2.

Приблизительно √1112 ≈ 33.33, тогда:

• x₁ ≈ (-32 + 33.33) / 2 ≈ 0.665;
• x₂ ≈ (-32 - 33.33) / 2 ≈ -32.665.

Неравенство x² + 32x - 22 < 0 выполняется между корнями:

-32.665 < x < 0.665.

Целые числа в этом интервале: -32, -31, ..., 0. Сумма: (-32 + 0) * 33 / 2 = -528.

c) (5x + 7)(x - 2) ≤ 21x² - 11x + 3

Раскроем скобки:

• 5x² - 10x + 7x - 14 ≤ 21x² - 11x + 3.
• 5x² - 3x - 14 ≤ 21x² - 11x + 3.
• 0 ≤ 16x² - 8x + 17.

Теперь найдем дискриминант для 16x² - 8x + 17:

• D = (-8)² - 4 * 16 * 17 = 64 - 1088 = -1024.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней. Парабола открыта вверх, следовательно, 16x² - 8x + 17 всегда положительно.

Таким образом, неравенство выполняется для всех x.

Целые числа: все целые числа. Сумма всех целых чисел не определена.

Теперь подведем итог:

• Сумма для a) = 6.
• Сумма для b) = -528.
• Сумма для c) не определена.

Итак, сумма всех целых чисел, соответствующих неравенствам a) и b), равна 6 - 528 = -522.