Как решить следующие уравнения:

1. tg(x/3) = -корень из 3
2. 2sin^2(x) + 5cos(x) - 4 = 0

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнений алгебра tg(x/3) sin^2(x) cos(x) уравнения с корнями тригонометрические уравнения Квадратные уравнения Новый

Привет! Давай разберемся с этими уравнениями!

1. tg(x/3) = -корень из 3

• Сначала вспомним, что тангенс принимает отрицательные значения в 2 и 4 квадранте.
• tg(x/3) = -корень из 3 означает, что x/3 = 5π/6 + kπ или x/3 = 11π/6 + kπ, где k - любое целое число.
• Теперь умножим на 3, чтобы избавиться от деления:
  • x = 15π/6 + 3kπ = 5π/2 + 3kπ
  • x = 33π/6 + 3kπ = 11π/2 + 3kπ
• Таким образом, у нас есть два семейства решений:
  • x = 5π/2 + 3kπ
  • x = 11π/2 + 3kπ

2. 2sin^2(x) + 5cos(x) - 4 = 0

• Заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)) для удобства:
  • 2(1 - cos^2(x)) + 5cos(x) - 4 = 0
  • 2 - 2cos^2(x) + 5cos(x) - 4 = 0
  • -2cos^2(x) + 5cos(x) - 2 = 0
• Умножим на -1 для упрощения:
  • 2cos^2(x) - 5cos(x) + 2 = 0
• Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
  • D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4*2*2 = 25 - 16 = 9
• Находим корни:
  • cos(x) = (5 ± √9) / (2*2) = (5 ± 3) / 4
  • cos(x) = 2 или cos(x) = 0.5
• cos(x) = 2 не имеет решения, а cos(x) = 0.5 дает:
  • x = π/3 + 2kπ и x = 5π/3 + 2kπ, где k - любое целое число.

Вот и все! Надеюсь, тебе стало понятнее, как решать эти уравнения! Удачи с математикой!