Как решить следующие задачи по алгебре: a) sin(arccosx+arccos(-x))=0 и б) cos(arcsinx+arcsin(-x))=1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции и их обратные решение задач по алгебре sin(arccosx+arccos(-x)) cos(arcsinx+arcsin(-x)) алгебраические уравнения тригонометрические функции арккосинус арксинус свойства синуса и косинуса Новый

Давайте решим обе задачи по очереди.

Задача а) sin(arccos(x) + arccos(-x)) = 0

Сначала вспомним, что синус равен нулю, когда его аргумент равен целому кратному π:

• sin(θ) = 0, когда θ = kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы можем записать:

arccos(x) + arccos(-x) = kπ

Теперь найдем arccos(-x). По определению косинуса мы знаем, что:

• arccos(-x) = π - arccos(x), если -1 ≤ x ≤ 1.

Подставим это в уравнение:

arccos(x) + (π - arccos(x)) = kπ

Упрощаем:

π = kπ

Это уравнение выполняется, когда k = 1, так как π = 1 * π. Следовательно, k может быть равным 1, и мы можем записать:

k = 1.

Теперь подставим значение k обратно в уравнение:

arccos(x) + arccos(-x) = π

Это уравнение выполняется для всех x, таких что -1 ≤ x ≤ 1. Таким образом, решение задачи а) сводится к:

x ∈ [-1, 1].

Задача б) cos(arcsin(x) + arcsin(-x)) = 1

Косинус равен единице, когда его аргумент равен целому кратному 2π:

• cos(θ) = 1, когда θ = 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, мы можем записать:

arcsin(x) + arcsin(-x) = 2kπ.

Теперь вспомним, что:

• arcsin(-x) = -arcsin(x).

Подставим это в уравнение:

arcsin(x) - arcsin(x) = 2kπ.

Это упрощается до:

0 = 2kπ.

Это уравнение выполняется, когда k = 0. Таким образом, у нас есть:

arcsin(x) + arcsin(-x) = 0.

Теперь, так как arcsin(x) определен на отрезке [-1, 1], x должен быть в этом диапазоне. Следовательно, решение задачи б) сводится к:

x ∈ [-1, 1].

Итак, итоговые решения:

• а) x ∈ [-1, 1];
• б) x ∈ [-1, 1].