Как решить тригонометрическое уравнение:

1. 1/tg(x) - 2/tg(2x) + 1/tg(4x) = 0

Известно, что одно из решений - это π/6. Как можно вывести это решение?

Задача связана с геометрией, дополнительные решения вида +πn не интересуют.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс тригонометрическое уравнение решение уравнения tg(x) π/6 вывод решения геометрия математический анализ алгебраические методы учебные задачи Новый

Для решения тригонометрического уравнения 1/tg(x) - 2/tg(2x) + 1/tg(4x) = 0, начнем с преобразования уравнения, чтобы сделать его более удобным для анализа.

Первым шагом мы можем выразить тангенс через синус и косинус:

• tg(x) = sin(x)/cos(x)
• tg(2x) = sin(2x)/cos(2x)
• tg(4x) = sin(4x)/cos(4x)

Подставим эти выражения в уравнение:

1/(sin(x)/cos(x)) - 2/(sin(2x)/cos(2x)) + 1/(sin(4x)/cos(4x)) = 0

Упростим это уравнение, умножив его на произведение sin(x) * sin(2x) * sin(4x):

cos(x) * sin(2x) * sin(4x - 2 * sin(x) * sin(4x) + cos(2x) * sin(x) = 0

Теперь мы можем подставить известное решение x = π/6 и проверить, выполняется ли уравнение:

Находим тангенсы:

• tg(π/6) = 1/√3
• tg(2 * π/6) = tg(π/3) = √3
• tg(4 * π/6) = tg(2π/3) = -√3

Теперь подставим эти значения в уравнение:

1/(1/√3) - 2/(√3) + 1/(-√3) = 0

Упрощаем:

• √3 - 2/√3 - 1/√3 = 0
• √3 - 3/√3 = 0
• √3 - √3 = 0

Таким образом, уравнение верно, и x = π/6 является решением. Теперь мы можем искать другие решения, используя периодичность функции тангенса.

Поскольку нас интересуют только решения в пределах одного периода, мы можем рассмотреть другие углы, которые могут дать такие же значения тангенса. Однако, учитывая, что мы ищем только решения в пределах 0 до 2π, мы можем ограничиться только одним решением π/6.

Таким образом, мы пришли к выводу, что π/6 является решением данного тригонометрического уравнения.