Как решить тригонометрическое уравнение:
Известно, что одно из решений - это π/6. Как можно вывести это решение?
Задача связана с геометрией, дополнительные решения вида +πn не интересуют.
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс тригонометрическое уравнение решение уравнения tg(x) π/6 вывод решения геометрия математический анализ алгебраические методы учебные задачи Новый
Для решения тригонометрического уравнения 1/tg(x) - 2/tg(2x) + 1/tg(4x) = 0, начнем с преобразования уравнения, чтобы сделать его более удобным для анализа.
Первым шагом мы можем выразить тангенс через синус и косинус:
Подставим эти выражения в уравнение:
1/(sin(x)/cos(x)) - 2/(sin(2x)/cos(2x)) + 1/(sin(4x)/cos(4x)) = 0
Упростим это уравнение, умножив его на произведение sin(x) * sin(2x) * sin(4x):
cos(x) * sin(2x) * sin(4x - 2 * sin(x) * sin(4x) + cos(2x) * sin(x) = 0
Теперь мы можем подставить известное решение x = π/6 и проверить, выполняется ли уравнение:
Находим тангенсы:
Теперь подставим эти значения в уравнение:
1/(1/√3) - 2/(√3) + 1/(-√3) = 0
Упрощаем:
Таким образом, уравнение верно, и x = π/6 является решением. Теперь мы можем искать другие решения, используя периодичность функции тангенса.
Поскольку нас интересуют только решения в пределах одного периода, мы можем рассмотреть другие углы, которые могут дать такие же значения тангенса. Однако, учитывая, что мы ищем только решения в пределах 0 до 2π, мы можем ограничиться только одним решением π/6.
Таким образом, мы пришли к выводу, что π/6 является решением данного тригонометрического уравнения.