Как решить тригонометрическое уравнение: 4 sin^2x + sin 4x + 2 sin 2x * sin 4x = 2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс синус 4x алгебраические методы Новый

Для решения тригонометрического уравнения 4 sin^2(x) + sin(4x) + 2 sin(2x) * sin(4x) = 2 мы будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Упростим уравнение.

Переносим 2 на левую сторону уравнения:

• 4 sin^2(x) + sin(4x) + 2 sin(2x) * sin(4x) - 2 = 0.

Шаг 2: Используем тригонометрические идентичности.

Мы знаем, что sin(4x) = 2 sin(2x) cos(2x). Подставим это в уравнение:

• 4 sin^2(x) + 2 sin(2x) cos(2x) + 2 sin(2x) * (2 sin(2x) cos(2x)) - 2 = 0.

Упростим выражение:

• 4 sin^2(x) + 2 sin(2x) cos(2x) + 4 sin^2(2x) cos(2x) - 2 = 0.

Шаг 3: Заменим sin(2x).

Мы можем использовать sin(2x) = 2 sin(x) cos(x). Подставим это в уравнение:

• 4 sin^2(x) + 2(2 sin(x) cos(x)) cos(2x) + 4(2 sin(x) cos(x))^2 cos(2x) - 2 = 0.

Это уравнение становится довольно сложным, и его проще решать, если мы будем искать корни в пределах одного полного периода.

Шаг 4: Найдем корни.

Решим уравнение для нескольких значений x, например:

• Проверим x = 0, π/2, π, 3π/2, 2π и т.д.

Шаг 5: Проверим значения.

Для каждого из этих значений мы подставляем в уравнение и проверяем, выполняется ли равенство. Если да, то это корень уравнения.

Шаг 6: Найдем все решения.

Если мы найдем корни, то, используя периодичность тригонометрических функций, можем записать общее решение:

• x = x0 + k * π, где k - любое целое число, а x0 - найденный корень.

Таким образом, уравнение 4 sin^2(x) + sin(4x) + 2 sin(2x) * sin(4x) = 2 решается путем подстановки, упрощения и проверки значений. Не забудьте проверить все возможные корни и учесть периодичность функций.