Как решить тригонометрическое уравнение 5sin(2x) - 1 = 2cos^2(2x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения синус косинус алгебра математика 5sin(2x) 2cos^2(2x) методы решения задачи по алгебре Новый

Для решения тригонометрического уравнения 5sin(2x) - 1 = 2cos^2(2x) необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Приведение уравнения к одной тригонометрической функции

В данном уравнении присутствуют функции синуса и косинуса. Мы можем воспользоваться тождеством, связывающим синус и косинус: cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ). Подставим это в уравнение:

• 2cos^2(2x) = 2(1 - sin^2(2x)) = 2 - 2sin^2(2x).

Теперь уравнение принимает вид:

5sin(2x) - 1 = 2 - 2sin^2(2x).

Шаг 2: Преобразование уравнения

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

• 2sin^2(2x) + 5sin(2x) - 3 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(2x). Обозначим sin(2x) как t. Тогда уравнение можно записать в следующем виде:

2t^2 + 5t - 3 = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:

• t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = 5, c = -3. Подставим значения:

• t = (-5 ± √(5² - 4 * 2 * (-3))) / (2 * 2).
• t = (-5 ± √(25 + 24)) / 4.
• t = (-5 ± √49) / 4.
• t = (-5 ± 7) / 4.

Теперь находим два корня:

• t1 = (2) / 4 = 0.5,
• t2 = (-12) / 4 = -3.

Шаг 4: Обратное преобразование

Теперь вернемся к переменной sin(2x):

• sin(2x) = 0.5,
• sin(2x) = -3 (это значение не может быть, так как синус принимает значения только в диапазоне от -1 до 1).

Шаг 5: Решение для sin(2x) = 0.5

Решим уравнение sin(2x) = 0.5. Это уравнение имеет решение в основном диапазоне:

• 2x = π/6 + 2kπ,
• 2x = 5π/6 + 2kπ,

где k – целое число.

Шаг 6: Найдем x

Теперь делим все уравнения на 2:

• x = π/12 + kπ,
• x = 5π/12 + kπ.

Таким образом, общее решение уравнения 5sin(2x) - 1 = 2cos^2(2x) имеет вид:

• x = π/12 + kπ,
• x = 5π/12 + kπ,

где k – целое число.

В заключение, мы успешно решили тригонометрическое уравнение, используя преобразования и методы решения квадратных уравнений.