Похожие вопросы
2025-12-22 22:47:46
Как решить тригонометрическое уравнение: sin 3х + sin х = sin 2х + sin 4х?
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения тригонометрическое уравнение решение уравнения алгебра 11 класс sin 3x sin x sin 2x sin 4x методы решения математические уравнения Новый
2025-12-22 22:48:04
Для решения тригонометрического уравнения sin 3x + sin x = sin 2x + sin 4x начнем с упрощения левой и правой частей уравнения.
Первым шагом мы можем воспользоваться формулами суммы синусов. Напомним, что:
- sin A + sin B = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)
Мы можем переписать обе стороны уравнения, чтобы использовать эту формулу. Сначала преобразуем левую часть:
- sin 3x + sin x = 2 * sin((3x + x)/2) * cos((3x - x)/2) = 2 * sin(2x) * cos(x)
Теперь преобразуем правую часть:
- sin 2x + sin 4x = 2 * sin((2x + 4x)/2) * cos((2x - 4x)/2) = 2 * sin(3x) * cos(x)
Теперь у нас есть уравнение:
2 * sin(2x) * cos(x) = 2 * sin(3x) * cos(x)Мы можем сократить обе стороны на 2 и cos(x), но нужно помнить, что cos(x) не должен равняться нулю, иначе мы потеряем решение. Таким образом, у нас остается:
sin(2x) = sin(3x)Теперь решим это уравнение. Используем свойство, что если sin A = sin B, то:
- A = B + 2kπ, где k - целое число
- A = π - B + 2kπ
Применим это к нашему уравнению:
- 2x = 3x + 2kπ
- 2x = π - 3x + 2kπ
Решим первое уравнение:
- 2x - 3x = 2kπ
- -x = 2kπ
- x = -2kπ
Теперь решим второе уравнение:
- 2x + 3x = π + 2kπ
- 5x = π + 2kπ
- x = (π + 2kπ)/5
Итак, у нас есть два типа решений:
- x = -2kπ, где k - целое число
- x = (π + 2kπ)/5, где k - целое число
Теперь нужно проверить, какие значения x удовлетворяют первоначальному уравнению и находятся в пределах заданного интервала, если он указан.