Как решить уравнение 1+cosx+cos2x+cos3x=0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение 1+cosx+cos2x+cos3x=0 алгебра тригонометрические функции математическое уравнение Новый

Привет! Давай разберемся с уравнением 1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0. Это уравнение выглядит немного запутанно, но мы можем его упростить.

Сначала, давай вспомним, что cos(2x) и cos(3x) можно выразить через cos(x) с помощью формул двойного угла и тригонометрических идентичностей. Но для начала, давай просто попробуем перетасовать наше уравнение.

Вот несколько шагов, которые могут помочь:

1. Перепишем уравнение: 1 + cos(x) + cos(2x) + cos(3x) = 0.
2. Попробуем выразить cos(2x) и cos(3x):
• cos(2x) = 2cos²(x) - 1
• cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)
3. Подставим эти выражения в уравнение:

После подстановки получится:

1 + cos(x) + (2cos²(x) - 1) + (4cos³(x) - 3cos(x)) = 0.

Упростим это уравнение:

4cos³(x) + 2cos²(x) - 3cos(x) + 0 = 0.

Теперь можно выделить общий множитель:

cos(x)(4cos²(x) + 2cos(x) - 3) = 0.

Теперь у нас два возможных случая:

1. cos(x) = 0.
2. 4cos²(x) + 2cos(x) - 3 = 0.

Первый случай:

cos(x) = 0, значит x = (2n + 1) * π/2, где n - целое число.

Второй случай:

Решаем квадратное уравнение 4cos²(x) + 2cos(x) - 3 = 0. Используем дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 4 * (-3) = 4 + 48 = 52.

Теперь корни:

cos(x) = (-2 ± √52) / (2 * 4).

Упрощая, получаем:

cos(x) = (-2 ± 2√13) / 8.

Это можно упростить до:

cos(x) = (-1 ± √13) / 4.

Теперь нужно найти x из этих значений, используя арккосинус.

Вот и все! Надеюсь, это поможет тебе разобраться с уравнением. Если что-то не понятно, спрашивай!