Как решить уравнение 1/sin^2x - 1/sinx = 2 и найти все корни этого уравнения, которые принадлежат промежутку [-5П/2; -3П/2]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение корни промежуток sin sin^2x тригонометрические уравнения математический анализ интервал [-5П/2; -3П/2] Новый

Для решения уравнения 1/sin^2(x) - 1/sin(x) = 2, начнем с приведения его к общему знаменателю. Это уравнение можно переписать следующим образом:

• Обозначим y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:
• 1/y^2 - 1/y = 2.

Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим все части уравнения на y^2:

• y^2 * (1/y^2) - y^2 * (1/y) = 2 * y^2,
• 1 - y = 2y^2.

Теперь мы можем привести уравнение к стандартному виду:

• 2y^2 + y - 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
• Корни уравнения находятся по формуле: y = (-b ± √D) / (2a).

Теперь подставим значения:

• y1 = (-1 + 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5,
• y2 = (-1 - 3) / 4 = -4 / 4 = -1.

Теперь вернемся к нашему определению y = sin(x) и найдем x:

• Для sin(x) = 0.5 корни будут:
• x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k – целое число.
• Для sin(x) = -1 корень будет:
• x = 3π/2 + 2kπ.

Теперь нам нужно найти все корни, которые принадлежат промежутку [-5π/2; -3π/2]. Рассмотрим каждый из найденных корней:

• Для x = π/6 + 2kπ:
• k = -2: x = π/6 - 4π = -23π/6 (не входит в промежуток),
• k = -1: x = π/6 - 2π = -11π/6 (не входит в промежуток),
• k = 0: x = π/6 (не входит в промежуток).
• Для x = 5π/6 + 2kπ:
• k = -2: x = 5π/6 - 4π = -19π/6 (не входит в промежуток),
• k = -1: x = 5π/6 - 2π = -7π/6 (входит в промежуток),
• k = 0: x = 5π/6 (не входит в промежуток).
• Для x = 3π/2 + 2kπ:
• k = -2: x = 3π/2 - 4π = -5π/2 (входит в промежуток),
• k = -1: x = 3π/2 - 2π = -π/2 (не входит в промежуток).

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие промежутку [-5π/2; -3π/2], это:

• x = -5π/2,
• x = -7π/6.

В заключение, мы нашли корни уравнения, которые находятся в заданном промежутке.