Как решить уравнение: 2(1+ctg^2x)(cos^2x-sin^2x)=1/sin^2x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции ctg cos sin уравнение с ctg алгебраические уравнения решение тригонометрических уравнений Новый

Для решения уравнения 2(1+ctg^2x)(cos^2x-sin^2x)=1/sin^2x давайте сначала упростим его, используя тригонометрические тождества.

1. Напомним, что ctg^2x = cos^2x/sin^2x. Подставим это в уравнение:

• 2(1 + cos^2x/sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = 1/sin^2x

2. Упростим выражение в скобках:

• 1 + cos^2x/sin^2x = (sin^2x + cos^2x)/sin^2x = 1/sin^2x

Таким образом, уравнение становится:

• 2(1/sin^2x)(cos^2x - sin^2x) = 1/sin^2x

3. Умножим обе стороны уравнения на sin^2x (при условии, что sin^2x не равно нулю):

• 2(cos^2x - sin^2x) = 1

4. Теперь упростим это уравнение:

• 2cos^2x - 2sin^2x = 1

5. Используем тождество cos^2x - sin^2x = cos(2x):

• 2(cos^2x - sin^2x) = 2cos(2x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

• 2cos(2x) = 1

6. Разделим обе стороны на 2:

• cos(2x) = 1/2

7. Теперь найдем значения 2x. Мы знаем, что cos(2x) = 1/2 при:

• 2x = π/3 + 2kπ
• или
• 2x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

8. Теперь делим на 2, чтобы найти x:

• x = π/6 + kπ
• или
• x = 5π/6 + kπ.

9. Таким образом, общее решение уравнения:

• x = π/6 + kπ, где k - целое число.
• x = 5π/6 + kπ, где k - целое число.

Это и есть решение данного уравнения. Если у вас есть вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!