Похожие вопросы
2025-08-26 22:24:46
Как решить уравнение 2 cos² (x - π) + 3 sin (x + π) = 0? Варианты ответов:
- A) π/2 + πn, n ∈ Z
- B) (-1)^n π/6 + πn, n ∈ Z
- C) ± π/6 + 2πn, n ∈ Z
- D) ± π/3 + 2πn, n ∈ Z
- E) πn, n ∈ Z
Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра Тригонометрия решение уравнения cos sin π 11 класс математические задачи методы решения Новый
2025-08-26 22:24:57
Чтобы решить уравнение 2 cos² (x - π) + 3 sin (x + π) = 0, давайте сначала упростим его, используя тригонометрические тождества.
Шаг 1: Упрощение тригонометрических функций
- Мы знаем, что sin(x + π) = -sin(x) и cos(x - π) = -cos(x). Поэтому уравнение можно переписать как:
2(-cos(x))² + 3(-sin(x)) = 0
Это упрощается до:
2cos²(x) - 3sin(x) = 0
Шаг 2: Перепишем уравнение
Теперь у нас есть:
2cos²(x) = 3sin(x)
Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество
Мы знаем, что cos²(x) = 1 - sin²(x). Подставим это в уравнение:
2(1 - sin²(x)) = 3sin(x)
Это превращается в:
2 - 2sin²(x) = 3sin(x)
Шаг 4: Приведение уравнения к стандартному виду
Переносим все члены в одну сторону:
2sin²(x) + 3sin(x) - 2 = 0
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = 3, c = -2.
Дискриминант D = b² - 4ac = 3² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25.
Корни уравнения:
sin(x) = (-b ± √D) / (2a) = (-3 ± 5) / 4.
Это дает два корня:
- sin(x) = (2) / 4 = 1/2
- sin(x) = (-8) / 4 = -2 (не имеет смысла, так как синус не может быть больше 1 или меньше -1)
Шаг 6: Находим углы для sin(x) = 1/2
Синус равен 1/2 в следующих точках:
- x = π/6 + 2πn
- x = 5π/6 + 2πn
Шаг 7: Записываем окончательный ответ
Объединяя оба решения, мы можем записать ответы в виде:
x = ±π/6 + 2πn, где n ∈ Z.
Ответ: C) ± π/6 + 2πn, n ∈ Z.
