Как решить уравнение: 2 sin^(2) x - cos x - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin и cos математические методы уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Чтобы решить уравнение 2 sin² x - cos x - 1 = 0, начнем с того, что мы можем выразить sin² x через cos x с помощью тригонометрической тождества:

Мы знаем, что sin² x = 1 - cos² x. Подставим это выражение в уравнение:

• 2(1 - cos² x) - cos x - 1 = 0

Теперь раскроем скобки:

• 2 - 2cos² x - cos x - 1 = 0

Упростим уравнение:

• -2cos² x - cos x + 1 = 0

Умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

• 2cos² x + cos x - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно cos x. Используем формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a = 2, b = 1, c = -1.

Вычислим дискриминант:

• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь найдем корни уравнения по формуле:

• cos x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим наши значения:

• cos x = (-1 ± √9) / (2 * 2)
• cos x = (-1 ± 3) / 4

Теперь найдем два возможных значения:

• cos x = (2) / 4 = 0.5
• cos x = (-4) / 4 = -1

Теперь решим каждое из уравнений:

1. Для cos x = 0.5:

• x = π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ (где k - целое число)

2. Для cos x = -1:

• x = π + 2kπ (где k - целое число)

Таким образом, обобщенное решение уравнения 2 sin² x - cos x - 1 = 0 будет:

• x = π/3 + 2kπ
• x = 5π/3 + 2kπ
• x = π + 2kπ

Где k - любое целое число.