Для решения уравнения 2cos^2x + 5sinx - 4 = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы знаем, что cos^2x можно выразить через sinx, используя тригонометрическую тождество:

Шаг 1: Используем тождество

• cos^2x = 1 - sin^2x.

Подставим это выражение в уравнение:

2(1 - sin^2x) + 5sinx - 4 = 0.

Шаг 2: Раскроем скобки

• 2 - 2sin^2x + 5sinx - 4 = 0.

Теперь упростим уравнение:

-2sin^2x + 5sinx - 2 = 0.

Умножим обе стороны уравнения на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin^2x - 5sinx + 2 = 0.

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

• Это уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, где a = 2, b = -5, c = 2.

Для решения квадратного уравнения используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9.

Дискриминант положителен, значит, у уравнения два различных корня.

Шаг 4: Найдем корни

• sinx1 = (5 + √9) / (2 * 2) = (5 + 3) / 4 = 8 / 4 = 2.
• sinx2 = (5 - √9) / (2 * 2) = (5 - 3) / 4 = 2 / 4 = 0.5.

Шаг 5: Анализируем корни

• sinx1 = 2: это значение вне диапазона функции синуса, поэтому этот корень не подходит.
• sinx2 = 0.5: это значение подходит, так как находится в диапазоне от -1 до 1.

Шаг 6: Находим значения x

• Для sinx = 0.5, x = arcsin(0.5).
• Основное решение: x = π/6.
• Также учитываем периодичность функции синуса: x = π/6 + 2kπ и x = π - π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, все решения уравнения:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k - целое число.