Для решения уравнения 2cos(pi/2 - x) = tgx, давайте сначала упростим его, используя известные тригонометрические тождества.

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения.

Мы знаем, что cos(pi/2 - x) = sin(x). Таким образом, уравнение можно переписать как:

2sin(x) = tg(x).

Шаг 2: Запишем тангенс через синус и косинус.

tg(x) = sin(x) / cos(x), поэтому уравнение становится:

2sin(x) = sin(x) / cos(x).

Шаг 3: Умножим обе стороны на cos(x), чтобы избавиться от дроби.

Важно помнить, что при этом мы должны учитывать, что cos(x) не может равняться 0. Умножая, получаем:

2sin(x) * cos(x) = sin(x).

Шаг 4: Переносим все на одну сторону.

2sin(x) * cos(x) - sin(x) = 0.

Факторизуем:

sin(x)(2cos(x) - 1) = 0.

Шаг 5: Найдем корни уравнения.

• Первое уравнение: sin(x) = 0.
• Второе уравнение: 2cos(x) - 1 = 0, что приводит к cos(x) = 1/2.

Шаг 6: Решение первого уравнения sin(x) = 0.

Корни этого уравнения имеют вид:

x = nπ, где n - целое число.

В нашем случае, для промежутка [-2π; -π/2] мы получаем:

• n = -2: x = -2π
• n = -1: x = -π

Шаг 7: Решение второго уравнения cos(x) = 1/2.

Корни этого уравнения имеют вид:

x = ±π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Теперь находим корни в заданном промежутке [-2π; -π/2].

• k = -2: x = -2π + π/3 = -6π/3 + π/3 = -5π/3 (принадлежит промежутку)
• k = -2: x = -2π - π/3 = -6π/3 - π/3 = -7π/3 (не принадлежит промежутку)
• k = -1: x = -π + π/3 = -3π/3 + π/3 = -2π/3 (не принадлежит промежутку)
• k = -1: x = -π - π/3 = -3π/3 - π/3 = -4π/3 (принадлежит промежутку)

Шаг 8: Соберем все корни.

Таким образом, все корни уравнения 2cos(pi/2 - x) = tgx в промежутке [-2π; -π/2] это:

• x = -2π
• x = -π
• x = -5π/3
• x = -4π/3

Эти значения являются ответом на поставленную задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!