Как решить уравнение 3cos^2x - sinx + 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения cos и sin математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 3cos^2x - sinx + 1 = 0, начнем с преобразования выражения. Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Это позволяет выразить cos^2x через sinx:

Шаг 1: Замена переменной.

• Поскольку cos^2x = 1 - sin^2x, подставим это в уравнение:

3(1 - sin^2x) - sinx + 1 = 0

Шаг 2: Раскроем скобки.

• Раскроем скобки и упростим уравнение:

3 - 3sin^2x - sinx + 1 = 0

Шаг 3: Приведем подобные.

• Соберем все члены в одну сторону:

-3sin^2x - sinx + 4 = 0

Шаг 4: Умножим на -1.

• Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

3sin^2x + sinx - 4 = 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения.

• Теперь у нас есть квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = 1, c = -4.
• Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

sinx = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Подставим значения:

sinx = ( -1 ± √(1^2 - 4 * 3 * (-4)) ) / (2 * 3)

sinx = ( -1 ± √(1 + 48) ) / 6

sinx = ( -1 ± √49 ) / 6

sinx = ( -1 ± 7 ) / 6

Шаг 6: Найдем корни.

• Первый корень:

sinx = (6) / 6 = 1

• Второй корень:

sinx = (-8) / 6 = -4/3 (не подходит, так как sinx не может быть больше 1 или меньше -1)

Шаг 7: Находим угол.

• Теперь найдем x для корня sinx = 1:

Это происходит при x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Ответ: x = π/2 + 2kπ, где k ∈ Z.