Как решить уравнение 3ctg x = -1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение 3ctg x алгебра 11 класс тригонометрические функции уравнения с ctg Новый

Для решения уравнения 3ctg x = -1, давайте следовать пошагово:

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что упростим уравнение. Мы можем разделить обе стороны на 3:
• ctg x = -1/3
2. Вспомним определение котангенса: Котангенс угла x равен отношению косинуса к синусу:
• ctg x = cos x / sin x
3. Запишем уравнение через синус и косинус: Теперь мы можем записать уравнение как:
• cos x / sin x = -1/3
4. Перепишем уравнение: Умножим обе стороны на sin x (при условии, что sin x ≠ 0):
• cos x = -1/3 * sin x
5. Используем основное тригонометрическое тождество: Мы знаем, что cos² x + sin² x = 1. Подставим cos x из предыдущего уравнения:
• (-1/3 * sin x)² + sin² x = 1
6. Решим уравнение: Раскроем скобки:
• (1/9) * sin² x + sin² x = 1
7. Соберем подобные члены: Приведем к общему знаменателю:
• (1/9 + 9/9) * sin² x = 1
• (10/9) * sin² x = 1
8. Упростим уравнение: Умножим обе стороны на 9/10:
• sin² x = 9/10
9. Найдём синус: Теперь извлечем корень из обеих сторон:
• sin x = ±√(9/10) = ±3/√10 = ±3√10/10
10. Найдём углы: Теперь нам нужно найти значения x, для которых sin x = ±3√10/10. Это будет:
• x = arcsin(3√10/10) + kπ, где k - целое число (для положительного значения)
• x = π - arcsin(3√10/10) + kπ (для отрицательного значения)

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения 3ctg x = -1. Не забудьте учитывать периодичность тригонометрических функций при нахождении всех возможных решений!