Для решения уравнения 3x/(5x + 25) + 1/(2x - 10) = 5/(x^2 - 25) будем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Упростим выражения.

• Первое, что мы можем заметить, это то, что x^2 - 25 можно разложить на множители: x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).
• Также 5x + 25 можно упростить: 5x + 25 = 5(x + 5).
• И 2x - 10 можно записать как 2(x - 5).

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в уравнение.

Теперь уравнение можно записать так:

3x/(5(x + 5)) + 1/(2(x - 5)) = 5/((x - 5)(x + 5)).

Шаг 3: Найдем общий знаменатель.

Общий знаменатель для всех дробей будет 10(x - 5)(x + 5).

Шаг 4: Приведем все дроби к общему знаменателю.

• Первая дробь: 3x/(5(x + 5)) = (3x * 2(x - 5)) / (10(x - 5)(x + 5)) = (6x(x - 5)) / (10(x - 5)(x + 5)).
• Вторая дробь: 1/(2(x - 5)) = (1 * 5(x + 5)) / (10(x - 5)(x + 5)) = (5(x + 5)) / (10(x - 5)(x + 5)).
• Третья дробь: 5/((x - 5)(x + 5)) = (5 * 10) / (10(x - 5)(x + 5)) = 50 / (10(x - 5)(x + 5)).

Теперь уравнение выглядит так:

(6x(x - 5) + 5(x + 5)) / (10(x - 5)(x + 5)) = 50 / (10(x - 5)(x + 5)).

Шаг 5: Убираем общий знаменатель.

Так как знаменатели одинаковые, мы можем их убрать, получаем:

6x(x - 5) + 5(x + 5) = 50.

Шаг 6: Раскроем скобки и упростим уравнение.

• 6x^2 - 30x + 5x + 25 = 50.
• 6x^2 - 25x + 25 - 50 = 0.
• 6x^2 - 25x - 25 = 0.

Шаг 7: Решим квадратное уравнение.

Используем формулу для решения квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 6, b = -25, c = -25.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 * 6 * (-25) = 625 + 600 = 1225.

Корни уравнения можно найти по формуле:

x = (-b ± √D) / (2a).

Подставляем значения:

x = (25 ± √1225) / (12).

√1225 = 35, тогда:

x1 = (25 + 35) / 12 = 60 / 12 = 5.

x2 = (25 - 35) / 12 = -10 / 12 = -5/6.

Шаг 8: Проверим найденные корни.

Корень x = 5 не подходит, так как он делает знаменатель равным нулю в исходном уравнении (2x - 10 = 0).

Корень x = -5/6 подходит, так как не делает знаменатель равным нулю.

Ответ: x = -5/6.