Как решить уравнение 4cos^2x + 4sin x - 1 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решение тригонометрические функции cos sin квадратное уравнение методы решения математический анализ Новый

Давайте разберемся, как решить это уравнение! Это уравнение выглядит немного сложным, но не переживайте, мы справимся с ним вместе!

Первым делом, вспомним, что мы можем использовать тригонометрические тождества. Мы знаем, что:

• cos^2x = 1 - sin^2x

Теперь подставим это в наше уравнение:

4(1 - sin^2x) + 4sin x - 1 = 0

Раскроем скобки:

4 - 4sin^2x + 4sin x - 1 = 0

Упростим:

-4sin^2x + 4sin x + 3 = 0

Теперь умножим всё уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

4sin^2x - 4sin x - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin x! Давайте обозначим sin x как t:

4t^2 - 4t - 3 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминант для решения этого уравнения:

• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

Теперь находим корни:

t1,2 = (4 ± √D) / (2 * 4)

t1,2 = (4 ± 8) / 8

Теперь посчитаем оба корня:

• t1 = (4 + 8) / 8 = 12 / 8 = 1.5
• t2 = (4 - 8) / 8 = -4 / 8 = -0.5

Но подождите! Значение sin x не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому мы отбрасываем t1 = 1.5!

Остается только t2 = -0.5. Теперь мы можем найти угол x:

sin x = -0.5

Это значит, что x может принимать значения:

• x = 210° + 360°k
• x = 330° + 360°k

где k - любое целое число.

Итак, мы нашли решение! Ура!