Как решить уравнение 4cos x + 8sin x = 7 на промежутке (-π; π)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения 4cos x + 8sin x = 7 промежуток (-π; π) Новый

Чтобы решить уравнение 4cos x + 8sin x = 7 на промежутке (-π; π), давайте следовать пошагово.

1. Перепишем уравнение: Начнем с того, что у нас есть уравнение в виде 4cos x + 8sin x = 7. Мы можем выразить одну из тригонометрических функций через другую, но проще всего преобразовать уравнение в более удобный вид.
2. Применим метод замены: Мы можем выразить это уравнение в виде Rsin(x + φ), где R и φ - некоторые константы. Для этого найдем R и φ:
   • R = √(a² + b²), где a = 8, b = 4. Таким образом, R = √(8² + 4²) = √(64 + 16) = √80 = 4√5.
   • tan φ = b/a = 4/8 = 1/2. Таким образом, φ = arctan(1/2).
3. Запишем уравнение в новом виде: Теперь мы можем записать уравнение как: 4√5 sin(x + φ) = 7.
4. Решим это уравнение: Перепишем его: sin(x + φ) = 7/(4√5). Теперь нужно проверить, находится ли 7/(4√5) в диапазоне значений sin, который от -1 до 1. Поскольку 7/(4√5) ≈ 0.78, это значение допустимо.
5. Найдём x + φ: Из уравнения sin(x + φ) = 7/(4√5) следует, что:
   • x + φ = arcsin(7/(4√5)) + 2kπ, где k - целое число;
   • или x + φ = π - arcsin(7/(4√5)) + 2kπ.
6. Теперь выразим x: Получаем:
   • x = arcsin(7/(4√5)) - φ + 2kπ;
   • x = π - arcsin(7/(4√5)) - φ + 2kπ.
7. Подставим φ: Не забываем, что φ = arctan(1/2). Теперь подставим это значение в наши выражения для x.
8. Найдём все значения x на промежутке (-π; π): Подставляя различные значения k (например, k = 0 и k = -1), мы найдем все возможные решения на заданном промежутке.

После всех этих шагов мы получим значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению в заданном промежутке.