Как решить уравнение: 4sin^2 x - 2cos^2 x - sin x = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус косинус уравнение с синусом алгебраические методы Новый

Чтобы решить уравнение 4sin^2 x - 2cos^2 x - sin x = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Мы знаем, что cos^2 x = 1 - sin^2 x. Подставим это выражение в уравнение:

• Заменим cos^2 x на 1 - sin^2 x:

4sin^2 x - 2(1 - sin^2 x) - sin x = 0

Теперь раскроем скобки:

• 4sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - sin x = 0

Объединим подобные слагаемые:

• (4sin^2 x + 2sin^2 x) - sin x - 2 = 0
• 6sin^2 x - sin x - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin x. Обозначим y = sin x, тогда уравнение примет вид:

6y^2 - y - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 6, b = -1, c = -2:
• D = (-1)^2 - 4 * 6 * (-2) = 1 + 48 = 49

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня. Найдем их по формуле:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

• y1 = (1 + √49) / (2 * 6) = (1 + 7) / 12 = 8 / 12 = 2/3
• y2 = (1 - √49) / (2 * 6) = (1 - 7) / 12 = -6 / 12 = -1/2

Теперь у нас есть два значения для sin x: y1 = 2/3 и y2 = -1/2.

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого из них:

• Для sin x = 2/3:
• Так как синус положителен, x может принимать значения в первом и втором квадрантах:
• x = arcsin(2/3) + 2kπ и x = π - arcsin(2/3) + 2kπ, где k - любое целое число.
• Для sin x = -1/2:
• Синус отрицателен, поэтому x будет в третьем и четвертом квадрантах:
• x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 4sin^2 x - 2cos^2 x - sin x = 0 будет:

• x = arcsin(2/3) + 2kπ
• x = π - arcsin(2/3) + 2kπ
• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ