Как решить уравнение 5sinx + cosx = 5 и sin^4 x + cos^4 x = sin2x - 1/2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра Тригонометрия sin cos уравнение 5sinx + cosx sin^4 x cos^4 x sin2x - 1/2 Новый

Привет! Давай разберемся с этими уравнениями вместе. Сначала начнем с первого уравнения:

1. Уравнение: 5sinx + cosx = 5

Для начала, давай выразим cosx через sinx:

• cosx = 5 - 5sinx

Теперь мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Подставим сюда cosx:

• sin^2x + (5 - 5sinx)^2 = 1

Раскроем скобки и упростим уравнение:

• sin^2x + (25 - 50sinx + 25sin^2x) = 1
• 26sin^2x - 50sinx + 24 = 0

Теперь у нас квадратное уравнение. Можем использовать дискриминант:

• D = (-50)^2 - 4 * 26 * 24
• D = 2500 - 2496 = 4

Так как D > 0, у нас два решения:

• sinx = (50 ± √4) / (2 * 26)
• sinx = 1 или sinx = 24/26 = 12/13

Теперь найдем x:

• Для sinx = 1: x = π/2 + 2kπ
• Для sinx = 12/13: x = arcsin(12/13) + 2kπ и x = π - arcsin(12/13) + 2kπ

Теперь переходим ко второму уравнению:

2. Уравнение: sin^4 x + cos^4 x = sin2x - 1/2

Здесь можно использовать формулы. Знаем, что:

• sin^4x + cos^4x = (sin^2x + cos^2x)^2 - 2sin^2x*cos^2x = 1 - 2sin^2x*cos^2x
• sin2x = 2sinx*cosx

Подставляем это в уравнение:

• 1 - 2sin^2x*cos^2x = 2sinx*cosx - 1/2

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

• 2 - 4sin^2x*cos^2x = 4sinx*cosx - 1

Переносим все в одну сторону:

• 4sin^2x*cos^2x - 4sinx*cosx + 3 = 0

Это также квадратное уравнение относительно sinx*cosx. Можно решить его и найти значения x.

Вот так, в принципе, можно подойти к решению этих уравнений. Если что-то непонятно, пиши, разберемся вместе!