Для решения уравнения 6cos²(4x) + 2sin(8x) = 5, давайте следовать пошагово.

1. Перепишем уравнение: У нас есть выражение с косинусом и синусом. Заменим sin(8x) через cos(4x). Заметим, что sin(8x) = 2sin(4x)cos(4x). Это можно использовать для упрощения уравнения.
2. Применим тригонометрическую идентичность: Мы знаем, что sin(2a) = 2sin(a)cos(a). Таким образом, sin(8x) можно выразить через sin(4x) и cos(4x).
3. Заменим sin(8x): Подставим это в уравнение:
   • 6cos²(4x) + 2(2sin(4x)cos(4x)) = 5
   • 6cos²(4x) + 4sin(4x)cos(4x) = 5
4. Перепишем sin(4x) через cos(4x): Используем идентичность sin²(a) + cos²(a) = 1. Таким образом, sin(4x) = sqrt(1 - cos²(4x)).
5. Подставим sin(4x): У нас получится следующее уравнение:
   • 6cos²(4x) + 4sqrt(1 - cos²(4x))cos(4x) = 5
6. Введем новую переменную: Обозначим cos(4x) = t. Тогда уравнение можно записать как:
   • 6t² + 4sqrt(1 - t²)t = 5
7. Решим полученное уравнение: Переносим 5 на левую сторону:
   • 6t² + 4sqrt(1 - t²)t - 5 = 0
8. Решение квадратного уравнения: Это уравнение может быть решено численно или аналитически в зависимости от значений t. Если вы хотите, вы можете использовать численные методы для нахождения корней.
9. Найдите значения t: После нахождения t, не забудьте вернуться к cos(4x) = t. Это даст вам значения для 4x.
10. Найдите x: После нахождения 4x, делим на 4, чтобы получить x. Не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций.

Таким образом, решив уравнение, вы получите значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению.