Как решить уравнение 6sin^2x + sin2x = 2? Очень прошу помочь!

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра 11 класс решить 6sin^2x sin2x 2 Тригонометрия математическое уравнение решение уравнения синус формулы методы решения подготовка к экзамену Новый

Решим уравнение 6sin²x + sin2x = 2 шаг за шагом.

Шаг 1: Используем формулу для синуса двойного угла.

Сначала вспомним, что sin2x можно выразить через синус и косинус:

sin2x = 2sinx * cosx.

Подставим это в уравнение:

6sin²x + 2sinx * cosx = 2.

Шаг 2: Преобразуем уравнение.

Переносим 2 на левую сторону уравнения:

6sin²x + 2sinx * cosx - 2 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sinx и cosx.

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество.

Мы знаем, что sin²x + cos²x = 1. Можно выразить cos²x через sin²x:

cos²x = 1 - sin²x.

Подставим это в наше уравнение:

6sin²x + 2sinx * cosx - 2(1 - sin²x) = 0.

Раскроем скобки:

6sin²x + 2sinx * cosx - 2 + 2sin²x = 0.

Соберем подобные слагаемые:

8sin²x + 2sinx * cosx - 2 = 0.

Шаг 4: Делим на cos²x.

Разделим все слагаемые на cos²x:

(8sin²x/cos²x) + (2sinx * cosx/cos²x) - (2/cos²x) = 0.

Это дает нам:

8tan²x + 2tanx - 2 = 0.

Шаг 5: Преобразуем уравнение.

Упростим его:

4tan²x + tanx - 1 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно tanx.

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение.

Решим его по формуле:

ax² + bx + c = 0, где a = 4, b = 1, c = -1.

Находим дискриминант:

D = b² - 4ac = 1² - 4 * 4 * (-1) = 1 + 16 = 17.

Теперь находим корни:

tanx = (-b ± √D) / 2a = (-1 ± √17) / 8.

Шаг 7: Находим значения тангенса и углов.

Записываем корни:

tanx1 = (−1 + √17) / 8, tanx2 = (−1 − √17) / 8.

Теперь нам нужно найти x:

x1 = arctg(tanx1) + πn, x2 = arctg(tanx2) + πn, где n – целое число.

Шаг 8: Подводим итог.

Таким образом, мы нашли общее решение данного уравнения. Теперь вы можете подставить значения для n, чтобы найти конкретные углы x, соответствующие вашим условиям задачи.