Чтобы решить уравнение 7/(x-3) + 1/(x+6) = 5/(x-6), следуем следующим шагам:

1. Найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для дробей в данном уравнении будет равен (x-3)(x+6)(x-6).
2. Перепишем уравнение с общим знаменателем. Умножим каждую дробь на общий знаменатель:
   • 7/(x-3) умножаем на (x-3)(x+6)(x-6) и получаем 7(x+6)(x-6).
   • 1/(x+6) умножаем на (x-3)(x+6)(x-6) и получаем (x-3)(x-6).
   • 5/(x-6) умножаем на (x-3)(x+6)(x-6) и получаем 5(x-3)(x+6).
3. Запишем уравнение без дробей. После умножения на общий знаменатель у нас получится: 7(x+6)(x-6) + (x-3)(x-6) = 5(x-3)(x+6).
4. Раскроем скобки. Упрощаем каждую часть уравнения:
   • 7(x+6)(x-6) = 7(x^2 - 36) = 7x^2 - 252.
   • (x-3)(x-6) = x^2 - 9x + 18.
   • 5(x-3)(x+6) = 5(x^2 + 3x - 18) = 5x^2 + 15x - 90.
5. Соберем все члены в одном уравнении. Получаем: 7x^2 - 252 + x^2 - 9x + 18 = 5x^2 + 15x - 90.
6. Переносим все на одну сторону: 7x^2 + x^2 - 5x^2 - 9x - 15x - 252 + 18 + 90 = 0.
7. Упрощаем: 3x^2 - 24x - 144 = 0.
8. Разделим уравнение на 3: x^2 - 8x - 48 = 0.
9. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 1 * (-48) = 64 + 192 = 256.
10. Находим корни: x = (8 ± √256) / 2 = (8 ± 16) / 2.
    • Первый корень: x1 = (24) / 2 = 12.
    • Второй корень: x2 = (-8) / 2 = -4.
11. Проверяем корни на допустимость. Подставляем x1 и x2 в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они не приводят к делению на ноль:
    • Для x = 12: (12-3) и (12+6) и (12-6) не равны нулю.
    • Для x = -4: (-4-3) и (-4+6) и (-4-6) не равны нулю.

Таким образом, у нас есть два решения: x = 12 и x = -4.