Как решить уравнение Cos^2 x*tg^2 x+cos2x=sinx+1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра тригонометрические функции cos^2 x tg^2 x cos2x sinx уравнение с синусом уравнение с косинусом математические задачи Новый

Для решения уравнения Cos^2 x * tg^2 x + cos2x = sinx + 1 начнем с анализа каждой из частей уравнения и применения тригонометрических тождеств.

1. Перепишем уравнение:

Уравнение можно записать в следующем виде:

Cos^2 x * tg^2 x + cos2x - sinx - 1 = 0

2. Используем тригонометрические тождества:

• tg^2 x = sin^2 x / cos^2 x
• cos2x = cos^2 x - sin^2 x
• sin x = 1 - cos^2 x
(по формуле Pythagorean identity)

3. Подставляем tg^2 x:

Подставим tg^2 x в уравнение:

Cos^2 x * (sin^2 x / cos^2 x) + cos2x = sinx + 1

Это упрощается до:

sin^2 x + cos2x = sinx + 1

4. Подставляем cos2x:

Теперь подставим cos2x:

sin^2 x + (cos^2 x - sin^2 x) = sinx + 1

Это можно упростить:

cos^2 x = sinx + 1

5. Используем Pythagorean identity:

Так как cos^2 x = 1 - sin^2 x, подставим это в уравнение:

1 - sin^2 x = sinx + 1

6. Упрощаем уравнение:

Теперь упростим уравнение:

-sin^2 x = sinx

Переносим все в одну сторону:

sin^2 x + sinx = 0

7. Факторизуем:

Факторизуем уравнение:

sin x (sin x + 1) = 0

8. Находим корни:

• sin x = 0
• sin x + 1 = 0 → sin x = -1

9. Решаем каждое из уравнений:

• Для sin x = 0: x = nπ, где n - целое число.
• Для sin x = -1: x = (3/2)π + 2nπ, где n - целое число.

10. Записываем общий ответ:

Таким образом, общее решение уравнения:

x = nπ и x = (3/2)π + 2nπ, где n - целое число.

В заключение, мы рассмотрели шаги по решению тригонометрического уравнения, применив основные тригонометрические тождества и методы факторизации.