Как решить уравнение cos 2x = cos 4x и найти все его корни, которые принадлежат промежутку [0; π]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos 2x cos 4x корни уравнения промежуток [0; π] алгебра 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение cos 2x = cos 4x, начнем с применения свойства, которое гласит, что если cos A = cos B, то:

• A = B + 2kπ, где k - любое целое число;
• A = -B + 2kπ, где k - любое целое число.

В нашем случае A = 2x и B = 4x. Таким образом, мы можем записать два уравнения:

1. 2x = 4x + 2kπ
2. 2x = -4x + 2kπ

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

Первое уравнение: 2x = 4x + 2kπ

Переносим 4x влево:

2x - 4x = 2kπ

Получаем:

-2x = 2kπ

Делим обе стороны на -2:

x = -kπ

Теперь, чтобы найти корни в промежутке [0; π], подставим различные значения k:

• k = 0: x = 0;
• k = 1: x = -π (не подходит);
• k = -1: x = π (подходит).

Таким образом, из первого уравнения мы получили корни: x = 0 и x = π.

Второе уравнение: 2x = -4x + 2kπ

Переносим -4x влево:

2x + 4x = 2kπ

Получаем:

6x = 2kπ

Делим обе стороны на 6:

x = (kπ) / 3.

Теперь найдём значения k, чтобы x находилось в промежутке [0; π]:

• k = 0: x = 0;
• k = 1: x = π/3;
• k = 2: x = 2π/3;
• k = 3: x = π (подходит);
• k = 4: x = 4π/3 (не подходит);

Таким образом, из второго уравнения мы получили корни: x = 0, x = π/3, x = 2π/3 и x = π.

Объединение корней

Теперь объединим все найденные корни:

• x = 0;
• x = π/3;
• x = 2π/3;
• x = π.

Таким образом, все корни уравнения cos 2x = cos 4x, принадлежащие промежутку [0; π], это:

x = 0, x = π/3, x = 2π/3, x = π.