Как решить уравнение: cos(2x) = cos(x) + sin(x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра решение cos(2X) cos(x) sin(x) Тригонометрия математические уравнения 11 класс задачи по алгебре Новый

Для решения уравнения cos(2x) = cos(x) + sin(x) мы будем использовать некоторые тригонометрические идентичности и алгебраические преобразования. Давайте разберем шаги решения.

1. Используем формулу для cos(2x).

   Согласно тригонометрическим идентичностям, мы можем выразить cos(2x) через cos(x) и sin(x):

   • cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
   • Также можно использовать: cos(2x) = 2cos²(x) - 1
   • Или: cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

   Мы можем выбрать любое из этих выражений. В данном случае, давайте воспользуемся первым вариантом:

   cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

2. Подставляем в уравнение.

   Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

   cos²(x) - sin²(x) = cos(x) + sin(x)

3. Приводим все к одному уравнению.

   Переносим все с одной стороны:

   cos²(x) - sin²(x) - cos(x) - sin(x) = 0

4. Используем замену переменных.

   Чтобы упростить уравнение, давайте сделаем замену:

   • Обозначим t = cos(x)
   • Тогда sin²(x) = 1 - t²

   Теперь подставим это в уравнение:

   t² - (1 - t²) - t - sqrt(1 - t²) = 0

   Упрощаем:

   2t² - 1 - t - sqrt(1 - t²) = 0

   Это уравнение можно решить, но давайте попробуем другой подход для поиска корней.

5. Поиск корней.

   Мы можем попробовать подставить некоторые значения для x:

   • x = 0: cos(0) = 1, sin(0) = 0 → cos(2*0) = 1, cos(0) + sin(0) = 1 → верно.
   • x = pi/4: cos(pi/4) = sin(pi/4) = sqrt(2)/2 → cos(2*(pi/4)) = cos(pi/2) = 0, cos(pi/4) + sin(pi/4) = sqrt(2) → не верно.
   • И так далее для других значений.
6. Решение уравнения на интервале.

   Если мы ищем все решения, то учитываем периодичность тригонометрических функций:

   Решение x = 0 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, основное решение уравнения cos(2x) = cos(x) + sin(x) будет x = 0 + 2kπ, где k - целое число. Если вас интересуют другие решения, можно продолжить исследовать другие значения x, но это потребует больше времени и усилий.