Как решить уравнение: cos^2x - cos2x = 0,75 и найти все корни, которые принадлежат промежутку [-2П; -П/2]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos^2x cos2x корни уравнения промежуток [-2П; -П/2] алгебра Тригонометрия математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение cos^2(x) - cos(2x) = 0,75, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Сначала вспомним, что cos(2x) можно выразить через cos^2(x) с помощью формулы двойного угла:

• cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

cos^2(x) - (2cos^2(x) - 1) = 0,75

Упростим это уравнение:

• cos^2(x) - 2cos^2(x) + 1 = 0,75
• -cos^2(x) + 1 = 0,75
• -cos^2(x) = 0,75 - 1
• -cos^2(x) = -0,25
• cos^2(x) = 0,25

Теперь найдем cos(x). Из уравнения cos^2(x) = 0,25 мы можем взять квадратный корень:

• cos(x) = 0,5
• cos(x) = -0,5

Теперь найдем углы, для которых cos(x) = 0,5 и cos(x) = -0,5.

Для cos(x) = 0,5:

• x = П/3 + 2kП
• x = -П/3 + 2kП

Для cos(x) = -0,5:

• x = 2П/3 + 2kП
• x = -2П/3 + 2kП

Теперь, чтобы найти корни в промежутке [-2П; -П/2], подставим значения k = -1 и k = -2:

Для cos(x) = 0,5:

• 1. x = П/3 - 2П = -5П/3 (при k = -1)
• 2. x = -П/3 - 2П = -7П/3 (при k = -1)

Для cos(x) = -0,5:

• 1. x = 2П/3 - 2П = -4П/3 (при k = -1)
• 2. x = -2П/3 - 2П = -8П/3 (при k = -1)

Теперь проверим, какие из найденных значений лежат в заданном промежутке [-2П; -П/2]:

• -5П/3 (при k = -1) лежит в [-2П; -П/2]
• -4П/3 (при k = -1) лежит в [-2П; -П/2]
• -7П/3 (при k = -1) не лежит в [-2П; -П/2]
• -8П/3 (при k = -1) не лежит в [-2П; -П/2]

Таким образом, корни уравнения cos^2(x) - cos(2x) = 0,75 в промежутке [-2П; -П/2]:

• x = -5П/3
• x = -4П/3