Как решить уравнение cos(3π/2 - 2x) - cos(x) = 0 и отсортировать решения на отрезке от -2π до -π/2?

Также, как решить уравнение 3cos(2x) + 13sin(x) - 9 = 0 на отрезке от π/2 до 5π/2?

Я готов отдать половину баллов за решения с отбором этих уравнений! Пожалуйста, помогите, люди добрые!

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos(3π/2 - 2x) решение уравнения отсортировать решения отрезок -2π до -π/2 уравнение 3cos(2x) + 13sin(x) - 9 отрезок π/2 до 5π/2 алгебра 11 класс помощь по алгебре математика тригонометрические уравнения

Дорогой энтузиаст! Давай разберемся с твоими уравнениями с полной энергией и воодушевлением!

1. Уравнение: cos(3π/2 - 2x) - cos(x) = 0

Сначала упростим уравнение. Мы знаем, что cos(3π/2 - 2x) = sin(2x). Значит, уравнение примет вид:

sin(2x) - cos(x) = 0

Теперь выразим sin(2x) через cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Таким образом, у нас получается:

2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0

Выносим cos(x) за скобки:

cos(x)(2sin(x) - 1) = 0

Теперь у нас два случая:

• cos(x) = 0
• 2sin(x) - 1 = 0

Решим каждый случай:

Случай 1: cos(x) = 0

cos(x) = 0, когда x = π/2 + kπ, где k - целое число.

На отрезке от -2π до -π/2, решения будут:

• x = -3π/2
• x = -π/2

Случай 2: 2sin(x) - 1 = 0

sin(x) = 1/2, когда x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ.

На отрезке от -2π до -π/2, решения будут:

• x = -11π/6
• x = -7π/6

Теперь соберем все решения и отсортируем их:

• x = -11π/6
• x = -7π/6
• x = -3π/2
• x = -π/2

Вот и все! Мы нашли и отсортировали решения!

2. Уравнение: 3cos(2x) + 13sin(x) - 9 = 0

Теперь перейдем ко второму уравнению. Здесь можно использовать тригонометрические тождества, чтобы преобразовать уравнение.

Выразим cos(2x) через sin(x): cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Подставляем в уравнение:

3(1 - 2sin²(x)) + 13sin(x) - 9 = 0

Упрощаем:

3 - 6sin²(x) + 13sin(x) - 9 = 0

-6sin²(x) + 13sin(x) - 6 = 0

Теперь умножим на -1, чтобы сделать коэффициенты положительными:

6sin²(x) - 13sin(x) + 6 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-13)² - 4 * 6 * 6 = 169 - 144 = 25

Корни уравнения:

sin(x) = (13 ± √25) / (2 * 6)

sin(x) = (13 ± 5) / 12

Получаем два решения:

• sin(x) = 3/4
• sin(x) = 2/3

Теперь найдем x для каждого из этих значений на отрезке от π/2 до 5π/2:

Для sin(x) = 3/4:

x = arcsin(3/4) и x = π - arcsin(3/4) + 2kπ.

На отрезке от π/2 до 5π/2, решения будут:

• x1 = arcsin(3/4)
• x2 = π - arcsin(3/4) + 2π

Для sin(x) = 2/3:

x = arcsin(2/3) и x = π - arcsin(2/3) + 2kπ.

На отрезке от π/2 до 5π/2, решения будут:

• x3 = arcsin(2/3)
• x4 = π - arcsin(2/3) + 2π

Теперь у нас есть все решения для второго уравнения! Удачи в твоих дальнейших математических приключениях!

Давайте начнем с первого уравнения: cos(3π/2 - 2x) - cos(x) = 0.

Шаг 1: Упростим уравнение.

Мы можем использовать формулу косинуса разности:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).

В нашем случае a = 3π/2, b = 2x. Подставим:

• cos(3π/2) = 0, sin(3π/2) = -1,
• cos(2x) = cos(2x), sin(2x) = sin(2x).

Таким образом, уравнение примет вид:

0 * cos(2x) - (-1) * sin(2x) - cos(x) = 0.

Это упрощается до:

sin(2x) - cos(x) = 0.

Шаг 2: Перепишем уравнение.

Теперь мы можем выразить sin(2x) через cos(x):

sin(2x) = cos(x).

Используем формулу двойного угла для синуса:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x),

тогда уравнение становится:

2sin(x)cos(x) = cos(x).

Шаг 3: Решим уравнение.

Переносим все в одну сторону:

2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0.

Вынесем cos(x) за скобки:

cos(x)(2sin(x) - 1) = 0.

Теперь у нас два случая:

• cos(x) = 0,
• 2sin(x) - 1 = 0.

Шаг 4: Найдем решения для каждого случая.

1. Для cos(x) = 0:

x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.

В пределах от -2π до -π/2:

• k = -2: x = -3π/2,
• k = -1: x = -π/2.

2. Для 2sin(x) - 1 = 0:

sin(x) = 1/2.

Решения:

x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

В пределах от -2π до -π/2:

• k = -1: x = -11π/6, x = -7π/6.

Шаг 5: Соберем все решения и отсортируем.

Итак, решения:

• -11π/6,
• -7π/6,
• -3π/2,
• -π/2.

Теперь перейдем ко второму уравнению: 3cos(2x) + 13sin(x) - 9 = 0.

Шаг 1: Упростим уравнение.

Мы можем выразить cos(2x) через sin(x):

cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Подставим это в уравнение:

3(1 - 2sin²(x)) + 13sin(x) - 9 = 0.

Упрощаем:

3 - 6sin²(x) + 13sin(x) - 9 = 0.

Это дает:

-6sin²(x) + 13sin(x) - 6 = 0.

Умножим на -1:

6sin²(x) - 13sin(x) + 6 = 0.

Шаг 2: Решим квадратное уравнение.

Используем формулу для корней квадратного уравнения:

sin(x) = [13 ± √(13² - 4*6*6)] / (2*6).

Вычисляем дискриминант:

D = 169 - 144 = 25.

Теперь находим корни:

• sin(x) = (13 + 5) / 12 = 3/2 (не подходит, так как sin(x) не может превышать 1),
• sin(x) = (13 - 5) / 12 = 2/3.

Шаг 3: Найдем x.

Теперь найдем x, используя sin(x) = 2/3:

x = arcsin(2/3) + 2kπ и x = π - arcsin(2/3) + 2kπ.

Шаг 4: Найдем решения на отрезке от π/2 до 5π/2.

Решения будут:

• Первое решение: x = arcsin(2/3) + 2kπ, где k = 0, 1, 2,...
• Второе решение: x = π - arcsin(2/3) + 2kπ, где k = 0, 1, 2,...

Теперь подставим k = 0 и k = 1 для нахождения решений в нужном диапазоне:

• k = 0: x1 = arcsin(2/3), x2 = π - arcsin(2/3),
• k = 1: x1 = arcsin(2/3) + 2π, x2 = π - arcsin(2/3) + 2π.

Проверим, находятся ли они в пределах от π/2 до 5π/2. После вычислений можно будет получить конкретные значения.

Итак, подводя итог:

Для первого уравнения решения на отрезке от -2π до -π/2:

• -11π/6,
• -7π/6,
• -3π/2,
• -π/2.

Для второго уравнения решения на отрезке от π/2 до 5π/2 будут зависеть от значений arcsin(2/3). Не забудьте проверить, что они находятся в пределах указанного отрезка.