Как решить уравнение cos(4x) * cos(x) - sin(x) * sin(4x) = -√3/2?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos(4x) sin(x) уравнение cos sin(4x) алгебраические методы математические задачи угловые функции Новый

Для решения уравнения cos(4x) * cos(x) - sin(x) * sin(4x) = -√3/2 мы можем воспользоваться формулой косинуса суммы углов. Напомним, что:

cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B) = cos(A + B)

В нашем случае A = 4x и B = x, следовательно:

cos(4x) * cos(x) - sin(4x) * sin(x) = cos(4x + x) = cos(5x).

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

cos(5x) = -√3/2

Теперь нам нужно найти значения x, для которых cos(5x) = -√3/2. Мы знаем, что косинус равен -√3/2 в следующих углах:

• 5x = 5π/6 + 2kπ
• 5x = 7π/6 + 2kπ

где k — любое целое число.

Теперь решим каждое из этих уравнений для x:

1. Для первого уравнения:

5x = 5π/6 + 2kπ

x = (5π/6 + 2kπ) / 5 = π/6 + (2kπ)/5.

2. Для второго уравнения:

5x = 7π/6 + 2kπ

x = (7π/6 + 2kπ) / 5 = 7π/30 + (2kπ)/5.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = π/6 + (2kπ)/5, k ∈ Z
• x = 7π/30 + (2kπ)/5, k ∈ Z

Где Z — множество целых чисел. Это и есть все решения данного уравнения.