Как решить уравнение: cos²(2x) + sin²(x) = cos²(3x)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение алгебра решение cos2 sin² Тригонометрия 11 класс математика задачи анализ Новый

Для решения уравнения cos²(2x) + sin²(x) = cos²(3x) мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и свойства. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Используем тригонометрические тождества: Мы знаем, что sin²(x) + cos²(x) = 1. Это тождество поможет нам упростить выражение.
2. Переписываем уравнение: У нас есть sin²(x) в левой части. Мы можем выразить cos²(2x) через sin²(2x):
   • cos²(2x) = 1 - sin²(2x).
3. Подставляем это в уравнение:
   • 1 - sin²(2x) + sin²(x) = cos²(3x).
4. Теперь упростим:
   • 1 + sin²(x) - sin²(2x) = cos²(3x).
5. Используем тождество для sin²(2x):
   • sin²(2x) = 4sin²(x)cos²(x).
6. Подставляем это в уравнение:
   • 1 + sin²(x) - 4sin²(x)cos²(x) = cos²(3x).
7. Теперь упростим:
   • 1 - 3sin²(x)cos²(x) = cos²(3x).
8. Выразим cos²(3x): Мы можем использовать формулу для cos(3x):
   • cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x).
   • Таким образом, cos²(3x) = (4cos³(x) - 3cos(x))².
9. Теперь у нас есть уравнение:
   • 1 - 3sin²(x)cos²(x) = (4cos³(x) - 3cos(x))².
10. Решение этого уравнения может быть сложным, и, возможно, потребуется численный метод или графический анализ:
    • Построим графики обеих сторон уравнения и найдем точки пересечения.

Таким образом, мы можем решить данное уравнение, используя графические методы или численные методы, чтобы найти значения x, которые удовлетворяют уравнению. Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению, это может значительно упростить процесс.