Чтобы решить уравнение cos² x + 5 cos x = 2sin² x, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Мы знаем, что sin² x + cos² x = 1. Это позволяет нам выразить sin² x через cos² x:

• sin² x = 1 - cos² x

Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

cos² x + 5 cos x = 2(1 - cos² x)

Раскроем скобки:

cos² x + 5 cos x = 2 - 2cos² x

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

cos² x + 2cos² x + 5 cos x - 2 = 0

Упрощаем уравнение:

3cos² x + 5 cos x - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos x. Обозначим y = cos x, тогда уравнение примет вид:

3y² + 5y - 2 = 0

Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 3, b = 5, c = -2.

Сначала вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49

Теперь подставим значения в формулу:

y = (-5 ± √49) / (2 * 3)

y = (-5 ± 7) / 6

Теперь найдем два возможных значения для y:

1. y₁ = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3
2. y₂ = (-5 - 7) / 6 = -12 / 6 = -2

Теперь у нас есть два значения для cos x:

• cos x = 1/3
• cos x = -2 (это значение не подходит, так как косинус не может быть меньше -1)

Теперь решим уравнение cos x = 1/3.

Косинус равен 1/3 в двух квадрантах: первом и четвертом. Используем арккосинус для нахождения угла:

x = arccos(1/3)

Кроме того, учитывая периодичность косинуса, общее решение будет:

x = arccos(1/3) + 2kπ и x = -arccos(1/3) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получили общее решение исходного уравнения.