Как решить уравнение: cos4x - cos^2x = 1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos4x cos^2x тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения cos4x - cos^2x = 1 начнем с упрощения его. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

cos4x = cos^2x + 1

Теперь мы воспользуемся формулой для косинуса двойного угла. Помним, что:

cos(2θ) = 2cos^2(θ) - 1

Применяя эту формулу дважды, мы можем выразить cos4x через cos2x:

cos4x = cos(2(2x)) = 2cos^2(2x) - 1

Теперь выразим cos2x:

cos2x = 2cos^2x - 1

Подставим это выражение в формулу для cos4x:

cos4x = 2(2cos^2x - 1)^2 - 1

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

2(2cos^2x - 1)^2 - 1 = cos^2x + 1

Упростим уравнение:

1. Раскроем скобки: 2(4cos^4x - 4cos^2x + 1) - 1 = cos^2x + 1
2. Упростим: 8cos^4x - 8cos^2x + 2 - 1 = cos^2x + 1
3. Соберем все в одну сторону: 8cos^4x - 9cos^2x + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно cos^2x. Обозначим y = cos^2x, тогда уравнение примет вид:

8y^2 - 9y + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 8 * 1 = 81 - 32 = 49

Теперь найдем корни уравнения:

y1,2 = (9 ± √49) / (2 * 8) = (9 ± 7) / 16

Это дает нам два корня:

• y1 = (9 + 7) / 16 = 16 / 16 = 1
• y2 = (9 - 7) / 16 = 2 / 16 = 1/8

Теперь мы вернемся к переменной cos^2x:

• Для y1 = 1: cos^2x = 1, что дает cosx = ±1. Это происходит при x = 2kπ (где k – целое число).
• Для y2 = 1/8: cos^2x = 1/8, что дает cosx = ±√(1/8) = ±√2/4. Это происходит при x = ±arccos(√2/4) + 2kπ и x = ±arccos(-√2/4) + 2kπ.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

• x = 2kπ
• x = arccos(√2/4) + 2kπ
• x = -arccos(√2/4) + 2kπ
• x = arccos(-√2/4) + 2kπ
• x = -arccos(-√2/4) + 2kπ

Где k – любое целое число.