Как решить уравнение cosx + sinx = cos2x? Помогите, а то я что-то туплю.

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cosX sinx cos2x алгебра 11 класс тригонометрические уравнения помощь по алгебре математические задачи Новый

Решим уравнение cosx + sinx = cos2x пошагово.

Шаг 1: Используем формулу для косинуса двойного угла.

Согласно тригонометрическим идентичностям, cos2x = cos²x - sin²x. Мы можем переписать уравнение:

cosx + sinx = cos²x - sin²x

Шаг 2: Переносим все члены в одну сторону уравнения.

Получаем:

cos²x - sin²x - cosx - sinx = 0

Шаг 3: Заменим sin²x на (1 - cos²x) с помощью основной тригонометрической идентичности sin²x + cos²x = 1.

Тогда у нас будет:

cos²x - (1 - cos²x) - cosx - sinx = 0

Упрощаем это:

• cos²x - 1 + cos²x - cosx - sinx = 0
• 2cos²x - 1 - cosx - sinx = 0

Шаг 4: Теперь выразим sinx через cosx. Мы знаем, что sinx = √(1 - cos²x). Подставим это в уравнение:

2cos²x - 1 - cosx - √(1 - cos²x) = 0

Шаг 5: Это уравнение довольно сложно решать напрямую, поэтому давайте попробуем использовать другой подход. Упростим уравнение, используя замену. Обозначим t = cosx + sinx. Тогда:

Мы можем выразить t как:

t = √2 * sin(x + π/4) (по формуле суммы синусов).

Шаг 6: Теперь вернемся к нашему уравнению:

t = cos2x

Заменим cos2x на 2cos²x - 1:

t = 2cos²x - 1

Шаг 7: Теперь мы можем решить уравнение для t и затем найти x.

Решаем уравнение:

√2 * sin(x + π/4) = 2cos²x - 1

Шаг 8: Найдем значения для x, которые удовлетворяют этому уравнению. Это может потребовать численного решения или графического метода, так как уравнение может быть сложно решить аналитически.

Шаг 9: После нахождения значений x, проверяем их в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они подходят.

Таким образом, мы можем решить уравнение cosx + sinx = cos2x через несколько шагов, используя тригонометрические идентичности и замены. Если у вас остались вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!